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几何中垂直的关系--第1页

（一）空间中的垂直关系

1.两条直线互相垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

2.直线与平面垂直

（1）定义：直线与平面垂直是指直线和平面相交且和这个平面过交点的任何直线都垂直。

这里的“任何直线”能代表平面内的所有直线．需要注意的是：无数条直线不能代表所有直线，即一条直线垂

直于一个平面内的无数条直线，直线不一定与平面垂直，因为这无数条直线可以是互相平行的。

（2）直线与平面垂直的判定方法

①定义：

②判定定理：

③推论：

（3）直线与平面垂直的性质

①定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，即：

②定义：若线面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任一条直线，即：

③垂直于同一条直线的两个平面平行。

④过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

⑤过一点和已知直线垂直的平面只有一个。

⑥若于A，，则。

（4）学习中应注意的问题

直线与平面垂直的一般定义是根据线段的所有垂直平分线构成的集合来给出的。需要注意，如果一条直线垂直

于一个平面，那么它就和平面内任意一条直线垂直。用直线和平面垂直的判定定理来证明时，需特别注意平面内的

两条相交直线，否则会产生错误。

3.平面与平面互相垂直

（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相

垂直，就称这两个平面互相垂直。

平面α、β互相垂直，记作α⊥β。

画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图1，2所示。

（2）两个平面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

实质：线面垂直，则面面垂直。表示式为：。

（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一

个平面。

符号表示：

说明：要特别注意定理中这一条件，这一条件易被我们忽略，而少了这一条件，定理的结论是不成立的。

（4）证明面面垂直的常用思路：

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①利用两平面垂直的定义。

②利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。

（5）涉及到的数学方法

转化法是本节中重要的数学方法，证面面垂直，则需转化为线面垂直；而证线面垂直，则需转化为线线垂直。

通过这一转化能够为解决某些有关空间垂直关系的问题巧妙地创造条件。

线线、线面、面面垂直关系：线线垂直线面垂直面面垂直。

（二）全章知识梳理

1.知识网络

2.方法总结

（1）多面体的结构特征：对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的

多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因

此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。

多面体间的关系如下：

（2）旋转体的结构特征：旋转体是一个平面封闭图形同二个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球

分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

（3）表面积与体积的计算：有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中

的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。

（4）三视图和直观图的画法：三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我

们很好地把握空间几何体的性质。由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，

两者之间可以相互转化。

（5）直线和平面平行的判定方法

定义：；

判定定理：；

线面垂直的性质：；

面面平行的性质：。

（6）线线平行的判定方法

定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线；

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公理4：；

平面几何中判定两直线平