函数的单调性习题课.ppt

函数的单调性习题课

复习对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)()f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。1、函数单调性的定义是什么？

1下列表述中（1）f(a)f(b)。（2）存在x1,x2∈[a,b],当a≤x1x2≤b时,f(x1)f(x2).（3）对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1x2≤b时,都有f(x1)f(x2)。（4）对任意x1,x2∈[a,b],当a≤x1x2≤b时,都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]0（5）对任意x∈R,都有f(x)f(x+1)可确定函数y=f(x)在区间[a,b]上为增函数的有（）个A.1B.2C.3D.4

2、证明函数单调性的步骤是什么？第一步：取值第二步：作差变形第三步：定号第四步：判断下结论

题型一：用定义证明函数的单调性例1、判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？

讨论函数f(x)=在(－1,1)上的单调性.例2解：设

此时f（x）为减函数.当a0时，f(x1)f(x2)，此时f(x)为增函数.

题型三：利用已知函数单调性判断例3：判断函数在(1,+∞)上的单调性。结论1：y＝f(x)(f(x)恒不变号），与的单调性相反。y＝f(x)1

为正数且增函数，递减，故原函数）＋（-\4242x时，而当-+=4)2(12xux（解：-++=,4)2412xy）上为减函数。在+,1(∞

例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y＝3－2f(x)在A上的单调性，并说明理由。结论2：y＝f(x)与y＝kf(x)当k0时，单调性相同；当k0时，单调性相反。结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数。结论4：若f(x)在R上是增函数，g(x)在R上是减函数，则f(x)－g(x)也是增函数

结论6：复合函数f[g(x)]由f(x)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系：f(x)g(x)f[g(x)]结论5：若f(x)(其中f(x)0)在某个区间上为增函数，则也是增函数

练习：求函数的单调区间。答案：(－∞,－3]单减区间[2,+∞)单增区间注意：求单调区间时，一定要先看定义域。

题型四：函数单调性解题应用例1：已知函数y=x2－2ax＋a2－1在(－∞,1)上是减函数，求a的取值范围。

解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。练习：如果f(x)=x2－(a-1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？[7,＋∞）

例2：已知x∈[0,1],则函数的最大值为_______最小值为_________1=2max=yx时，当12miny－＝0=\x时，当上的增函数，]1,0[)()(-=\xgxfy是]1,0[)(xg上的减函数是]1,0[)(xf上的增函数，是1)(-=xxg则22)(+=xxf解：令

利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法。

例3：已知：f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)f(x2－1),求x的取值范围。注：在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。保证实施的是等价转化

例4：已知f(x)在其定义域R＋上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x－2)≤3