备考2024届高考数学-模型 方法 技巧 专题1-3 原函数与导函数混合还原问题.docx

专题1-3原函数与导函数混合还原问题

常见函数的构造

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

对于，构造．

模型11.（1）（2）

解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别

重点题型

重点题型·归类精讲

题型一由导函数不等式构造函数解不等式

2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T8

若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式

的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的结构，构造函数，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可.

【详解】令，

因为为偶函数，即，

故，为偶函数，当时，，则在上单调递增，

因为，即，

所以，故，解，

所以不等式的解集为.

2023·南京二模T8

已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，确定函数单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.

【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.

，则，即，

故.

，即，即，故，解得.

已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是．

【答案】

【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．

【详解】令，则，

∴在上是减函数，

，

不等式化为，

即，也即为，

所以，.

故答案为：，

已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造新函数，利用导数确定的单调性，从而可得时的正负，利用奇函数性质得出时的正负，然后分类讨论解不等式．

【详解】设，则，所以在上递增，

又，所以时，，此时，所以，

时，，此时，，所以，

所以时，，

因为是奇函数，所以时，，

由得或，所以或．

关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数，利用导数确定单调性后，得出的解．

已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集.

【详解】由题意知，当时，，

设，

则，

所以在上单调递减，

不等式等价于，

即为，所以，

解得.

故选：A.

2023·广州2023届综合能力测试（一）T15

已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】令函数，则，因此函数在上单调递减，

，因此，即，解得，

所以不等式的解集为.

2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T8

设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，由已知可得函数在上为增函数，不等式即为，根据函数的单调性即可得解.

【详解】解：令，则，

因为，

所以，

所以函数在上为增函数，

不等式即不等式，

又，，

所以不等式即为，

即，解得，

所以不等式的解集为.

2023届长郡中学月考（六）·11

设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（）

A. B.0 C.1 D.2

【答案】AB

【解析】

【分析】构建，根据题意分析可得：为奇函数，在R上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.

【详解】

令，即，则为奇函数，

当时，，则在区间上单调递增，

故在区间上单调递增，则在R上单调递增，

∵，即，

∴，解得，

故A、B正确，C、D错误.

广州华南师大附中高三第一次月考·7

设函数是奇函数的导函数,,当时,则使得成立的x的取值范围是( )

B.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(1,+∞)

【答案】D

2022武汉高二下期中·7

定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）．

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．