北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §2 2.1 向量的加法.ppt

§2从位移的合成到向量的加减法2.1向量的加法

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习

课标定位素养阐释1.通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来.2.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.3.了解向量加法的交换律和结合律,会用它们进行向量计算,并初步掌握向量加法的实际应用.4.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,提升直观想象、数学运算的素养.

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一、向量加法的定义【问题思考】1.如图2-2-1,飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京,这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度,实例中的位移说明了什么?体现了向量的什么运算?提示:后面的一次位移为前面两次位移的合位移;体现了向量的加法运算.图2-2-1

2.向量加法的定义:求两个向量和的运算,称为向量的加法.3.想一想:两个向量相加就是两个向量的模相加吗?提示:不是,向量的相加满足三角形法则,而模相加是数量的加法.

二、向量求和的法则【问题思考】1.如图2-2-2,有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是|F1|=3000N,|F2|=2000N,牵引绳之间的夹角θ=60°,若只用一条拖轮来牵引,则怎样产生跟原来相同的效果?上述实例中求力的和运算运用了什么法则?图2-2-2

2.实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫作什么?提示:相反向量.

3.(1)平行四边形法则:图2-2-3

(3)互为相反向量的两个向量的和为零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.(2)三角形法则:图2-2-4

图2-2-5

三、向量加法的运算律【问题思考】1.实数加法有哪些运算律?提示:交换律和结合律.

∴(a+b)+c=a+(b+c).向量加法满足结合律.2.如图2-2-6,根据四边形ABCD,验证向量加法是否满足结合律.图2-2-6

3.(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

4.化简下列各组向量:

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)对任意不共线向量a,b总有|a+b||a|+|b|成立.()(2)两个向量相加结果可能是一个数量.()(3)当a与b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|.()(4)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()√×√×

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一利用向量的加法法则作和向量【例1】(1)如图2-2-7,求作向量a+b;(2)如图2-2-8,求作向量a+b+c.图2-2-7图2-2-8分析:用三角形法则或平行四边形法则画图.

反思感悟1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”.3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.

【变式训练1】如图2-2-9,求作下列向量的和向量.图2-2-9答图2-2-4

探究二向量加法的运算【例1】如图2-2-10,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):图2-2-10

解析:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形,由向量加法的运算法则可知,

解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形,答图2-2-6

反思感悟进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形法则求和;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别要注意运用.

【变式训练2】(多选题)如图2-2-11,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是().图2-2-11

答案:AC

探究三向量加法的应用【例3】一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际速度.(保留小数点后1位数字)分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确——垂直,因此解答本题可借助向量知识及直角三角形的边角关系求解.

所以船的实际速度大小为10km/h,方向与河岸成30°角,水流速度大小约为8.7km/h.答图2-2-7

反思感悟1.向量的加法在物理学中的应用较为广泛,如力的合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用平行四边形法则或三角形法则