北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §4 4.1 平面向量基本定理 (2).ppt

§4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理

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一、平面向量基本定理【问题思考】1.如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么?提示:能.依据是数乘向量和平行四边形法则.2.如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.

3.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.

4.想一想:若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,e1与e2不共线,则λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?提示:由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.∵e1与e2不共线,∴λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,∴λ1=μ1,λ2=μ2.

5.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基的是.(填序号)?①e1,e2;②e1,2e1;③e1,2e2;④e2,2e2.解析:因为e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以作为基;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能作为基.故填②④.答案:②④

二、正交分解【问题思考】1.若向量a与b的夹角是90°,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基?提示:互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基.

2.正交分解(1)正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.(2)正交分解:在正交基下向量的线性表示称为正交分解.(3)标准正交基:若基中的两个向量是相互垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.

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探究一用基表示向量图2-4-1

解:∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,

解:如答图2-4-1,取CF的中点G,连接EG.∵E,G分别为BC,CF的中点,答图2-4-1

反思感悟平面内任何一个向量都可以用两个基进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基方向进行组合或分解.

探究二平面向量基本定理的应用【例2】如图2-4-2,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.分析:以为基利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件A,P,M和B,P,N分别共线的应用.图2-4-2

反思感悟用向量解决平面几何问题的一般步骤:(1)选取不共线的两个平面向量作为基;(2)将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解;(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

易错辨析

忽略两个向量作为基的条件【典例】已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为().A.λ=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0错解:A

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解在应用平面向量基本定理a=λ1e1+λ2e2中,忽视了e1,e2不共线这个条件.本题没有指明e1,e2是否共线,应对e1,e2共线的情况分类讨论.正解:当e1∥e2时,a∥e1,又因为b=2e1,所以b∥e1.又e1≠0,故a与b共线;当λ=0时,则a∥e1.又因为b=2e1,所以b∥e1.又因为e1≠0,所以a与b共线.答案:D

防范措施1.在应用平面向量基本定理时,要注意a=λ1e1+λ2e2中,e1,e2不共线这个条件.2.平面内任一向量都可以沿着两个不共线向量e1,e2的方向线性分解,并且这种分解是唯一的.3.积累直观想象和数学运算素养的经验.