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基于元胞自动机的桁架结构分析

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赵平

摘要：基于元胞自动机理论（CA），提出一种结构分析方法。元胞自动机是空间和时间都离散，物理参量只取有限数值集的理想物理系统。该方法将整个结构离散为只与周围邻居发生作用的独立的元胞。元胞自动机用来模拟自然界中的复杂系统具有很高的有效性和鲁棒性。它将结构的整体求解变成局域分析，通过应用最小能量原理传递不平衡力达到最终的整体平衡，并且不需要象有限元那样形成整体刚度矩阵和求解整体平衡方程，对计算机容量要求极低，因此在大型复杂结构的计算方面具有良好的前景。

关键词：元胞自动机；桁架结构；局部法则；邻居

：TU318：A

0引言

元胞自动机的概念是J.VonNeumann和StanUlam在上世纪提出[1]。VonNeumann认为元胞自动机是一种通用的模型，能够应用于不同的领域。1970年数学家JohnConway提出了著名的生命游戏机的概念[2],其动机也是要寻找能导致复杂行为的简单规则。根据VonNeumann规则，生命游戏机是一个具有计算通用性的元胞自动机。

上世纪90年代StephenWolfram研究了一组简单的一维的元胞自动机[5]，表明尽管简单的规则（现在被称为Wolfram规则）也能够模拟复杂行为。他注意到，元胞自动机是一个离散的的动力系统，因而即使在非常简单的构架下，它亦显示出许多连续系统中遇到的行为。他的研究给后来致力于应用CA模型的研究者们指明了方向。

元胞自动机(CellularAutomata)是空间和时间都离散，物理参量只取有限数值集的理想物理系统。它是一个数学、物理学、计算机科学、生物学和系统科学多学科的交叉和边缘领域，是复杂系统的重要研究方法之一。它将结构的整体求解变成局域分析，通过力的局域间的不平衡传递达到最终的整体平衡，并且不需要象有限元那样形成整体刚度矩阵和求解整体平衡方程，对计算机容量要求极低，因此在大型复杂结构的计算方面具有良好的前景。

本文将CA应用于结构分析，并将CA算法的结果与FEM结果做了对比，证实了将CA应用结构分析的可行性。

1元胞自动机

元胞自动机由元胞，元胞的状态空间，邻居及局部规则四部分表示。

元胞自动机模型可以让简单的单元在局部规则的作用下产生各种复杂的系统状态。这种模型的结构简单，它是由很多的抽象的元胞集合在一起，每一个元胞都代表一种状态，可以包括很多状态参数，局部法则应用于每一个元胞时，元胞的状态发生改变。由于元胞自动机可以演化复杂系统，使得其应用于桁架结构成为可能。下面分别分析元胞自动机模型要素与空间桁架的相似性。

(1)元胞

又可称为单元，或者基元，是元胞自动机的最基本的组成部分，元胞分布在离散的一维，二维或者多维维欧几里德空间上。理论上的元胞空间通常是在各维上是无限的，但却无法在计算机上实现，因此我们需要定义不同的边界条件。空间桁架结构中结点与相连的杆可以抽象为元胞。

(2)状态

元胞的状态是由状态变量用来描述元胞响应的方式。桁架元胞自动机模型中元胞的状态是指节点三个方向的位移、外力、杆的截面和弹性模量。其中三个方向的位移是可变的，桁架结构系统将在边界条件和局部法则的作用下进行演化。

(3)元胞的空间

元胞所分布在空间网点的集合就称为元胞空间。目前的研究多集中在一维和二维的元胞自动机上，对于一维元胞自动机空间的划分只有一种，而二维的元胞自动机空间划分形式有多种形式。

(4)元胞的边界

用元胞自动机模拟实际问题时，显然元胞空间不是无限延伸。由于边界上元胞有不同的邻居状态所以边界元胞是特殊的元胞。

(5)邻居

元胞自动机的演化规则是局部的，对于指定的元胞的状态更新只需要知道其邻居元胞的状态，其实就是局部法则应用的空间，原则上，对于邻居的大小没有限制，但是所有的元胞的邻居的大小都要相同。实际应用中往往只由相邻的元胞构成邻居。

(6)局部规则

根据元胞当前状态以及邻居状态确定下一时刻该元胞状态的函数，也称为状态转移函数。它反映了元胞与邻居之间的相互作用。

(7)时间

元胞自动机是一个动态系统，它在时间维上的变化是离散的，即时间t是一个整数值，而且连续等间距。元胞在t+1时刻的状态只取决于t时刻该元胞状态及其邻居元胞的状态，显然，在t-1时刻的该元胞及其邻居元胞状态间接影响了元胞在t+1时刻的状态。

2.基于CA的结构分析方法

2.1三维桁架结构元胞

桁架结构的元胞由节点及其相连的杆件组成，显然空间桁架结构中所有的元胞组成是相同的。这与元胞自动机的基本构成相类似。元胞自动机理论就可以应用到桁架结构分析上去。如图1为三维桁架及其抽象出的元胞结构。

图1三维桁架结构及抽象元胞

Fig1.3-Dtrussstructureandabstractcellular

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