网络名师小班辅导教案-初中数学-第7讲分式化简的技巧教师版.doc

第

第七讲

分式化简的技巧

中考要求

中考要求

内容

根本要求

略高要求

较高要求

分式的概念

了解分式的概念，能确定分式有意义的条件

能确定使分式的值为零的条件

分式的性质

理解分式的根本性质，并能进行简单的变型

能用分式的性质进行通分和约分

分式的运算

理解分式的加、减、乘、除运算法那么

会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题

知识点睛

知识点睛

比例的性质：

⑴比例的根本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.

⑵更比性〔交换比例的内项或外项〕：

⑶反比性〔把比例的前项、后项交换〕：

⑷合比性：，推广：〔为任意实数〕

⑸等比性：如果，那么〔〕

根本运算

分式的乘法：

分式的除法：

乘方：(为正整数)

整数指数幂运算性质：

⑴(、为整数)

⑵(、为整数)

⑶(为整数)

⑷(，、为整数)

负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数

分式的加减法法那么：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

重、难点

重、难点

重难点：灵活对分式进行适当变形

例题精讲

例题精讲

一、根本运算

计算：⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑴；

⑵

⑶

⑷

．

①分子分母有些可以因式分解，先进行因式分解，再计算；②如果运算结果不是最简分式，一

定要进行约分，使运算结果化成最简分式；③有幂的运算时，先算乘方，后算乘除．

〔2008杭州〕化简的结果是〔〕

A． B． C． D．

原式．应选A．

〔2008黄冈〕计算的结果为〔〕

A． B． C． D．

．应选A

计算：⑴⑵

⑴

；

⑵

．

(第9届希望杯试题)化简：

原式

化简：

原式

.

化简：

原式

.

：，其中

当时，求代数式的值

原式

求代数式的值，其中，，

．

∴当，，时，原式．

计算：(为自然数)

原式

，求.

故.

二、整体代入运算

：，且．试用表示．

∵，∴由，得：．

由，得：．

∵，∴，

∴．

：，求的值

，求的值.

，∴，∴或，

由题意可知:，或.

分式的值是，如果用，的相反数代入这个分式，那么所得的值为，那么、是什么关系？

由题可知：

由②得：．

∴，∴．

所以的关系为互为相反数．

(第11届“希望杯”邀请赛试题)代数式，当时，值为1，求该代数式当时的值．

当时，；

当时，

，求代数式的值.

.

：，，求的值.

，求代数式的值.

.

，求的值.

(法1)：由可得，，即，

(法2)：根据题意可得，，所以(分式的分子分母同除以)

：，求的值.

由可得，

(新加坡中学生数学竞赛)

设，求

由，知，那么.

如果，求的值.

.

三、消元计算

，，求代数式的值.

〔法1〕注意将未知数划归统一，，

〔法2〕，，

(第届华罗庚金杯总决赛试)

，求的值．

由可得：，，故原式.

(清华附中暑假作业)：，求的值.

变形可得：，所以或，所以或.

：，，且，求的值.

由题意可知：，解得，

方程组:()，求：

把看作数，解关于、的方程组，解得，，所以.

(全国数学竞赛)

假设，()，求的值.

由，得，代入得原式.

四、设比例参数

(五羊杯试题)，那么=____________.

设，那么有

，求得，，.故.

(重庆市数学竞赛试题)，那么=__________.

由，可得，可得，那么.

【补充】〔“五羊杯”试题〕设，，那么

___________．

令，那么有

可得，可得，

由、可得，，

代入、可得，，

又，故

故．

(天津市竞赛题)假设，求的值.

设

那么，，，三式相加可得，

假设，那么，；

假设，那么.

假设，求的值.

设，那么，，，

故，故.

假设，那么；假设，那么.

．求的值．

可得

⑴如果分子，那么由分母推得．此时，

．

⑵如果分子，那么，．

此时，．

，求的值.

设，那么有

故

.

〔第届“希望杯”试题〕，且，那么

的值等于〔〕

A.9B.10C.8D.7

设，又，

故

又

，故，选A．

，求证：.

【解析】⑴设，那么，，，所以

.

因为，，所以.

同理可得，从而.

五、分式与裂项

设为正整数，求证：.

【解析】，故

化简：.

化简：

原式