概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解.docVIP

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习题(xítí)三

1.将一硬币(yìngbì)抛掷三次，以X表示在三次中出现(chūxiàn)正面的次数，以Y表示三次中出现正面(zhèngmiàn)次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合(liánhé)分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

X

X

Y

0

1

2

3

1

0

0

3

0

0

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

X

X

Y

0

1

2

3

0

0

0

1

0

2

P(0黑,2红,2白)=

0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=

求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.

【解】如图

题3图

说明：也可先求出密度(mìdù)函数，再求概率。

4.设随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的分布(fēnbù)密度

f（x，y）=

求：（1）常数(chángshù)A；

（2）随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X1，0≤Y2}.

【解】（1）由

得A=12

（2）由定义，有

(3)

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

（1）确定常数k；

（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X1.5}；

（4）求P{X+Y≤4}.

【解】（1）由性质有

故

（2）

(3)

(4)

题5图

6.设X和Y是两个(liǎnɡɡè)相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从(fúcóng)均匀分布，Y的密度(mìdù)函数为

fY（y）=

求：（1）X与Y的联合分布(fēnbù)密度；（2）P{Y≤X}.

题6图

【解】（1）因X在（0，0.2）上服从(fúcóng)均匀分布，所以X的密度函数为

而

所以(suǒyǐ)

(2)

7.设二维随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的联合(liánhé)分布函数为

F（x，y）=

求（X，Y）的联合分布(fēnbù)密度.

【解】

8.设二维随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

求边缘概率密度.

【解】

题8图题9图

9.设二维随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

求边缘(biānyuán)概率密度.

【解】

题10图

10.设二维随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

（1）试确定(quèdìng)常数c；

（2）求边缘(biānyuán)概率密度.

【解】（1）

得.

(2)

11.设随机变量(suíjībiànliànɡ)（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

求条件(tiáojiàn)概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

【解】

所以(suǒyǐ)

12.袋中有五个号码(hàomǎ)1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码(hàomǎ)为Y.

（1）求X与Y的联合(liánhé)概率分布；

（2）X与Y是否(shìfǒu)相互独立？

【解】（1）X与Y的联合(liánhé)分布律如下表

Y

Y

X

3

4

5

1

2

0

3

0

0

(2)因

故X与Y不独立

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

X

X

Y

258

0.4

0.8

0.150.300.35

0.050.120.03

（1）求关于X和关于Y的边缘分布；

（2）X与Y是否相互独立？

【解】（1）X和Y的边