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;;1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础,在进行计数过程中,常因分类不明导致增(漏)解,因此在解题中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性.
2.掌握两个计数原理,提升逻辑推理和数学运算素养.;例1(1)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,则不同的取法种数为
A.484 B.472
C.252 D.232;(2)车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?;方法一设A,B代表2位老师傅.;所以共有75+100+10=185(种)选派方法.;应用两个计数原理计数的四个步骤
(1)明确完成的这件事是什么.
(2)思考如何完成这件事.
(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.
(4)选择计数原理进行计算.;跟踪训练1(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中,若有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和3中的一个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有______个.(用数字作答);;(2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少1人(且每人仅报一科),若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛,则不同的参赛方案共有______种.;;1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,解决排列与组合的综合问题要树立先选后排,特殊元素(特殊位置)优先的原则.
2.明确排列和组合的运算,重点提升数学建模及数学运算的素养.;例2在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?;(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?;;解决排列、组合综合问题要注意以下几点
(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题.
(2)对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,分类时要不重不漏,分步时要步步相接.
(3)对于含有“至多”“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净.;跟踪训练26个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演.
(1)若每排4人,共有多少种不同的排法?;(2)领唱站在前排,男生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?;;1.二项式定理有比较广泛的应用,可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等,其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解.
2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养.;角度1二项展开式的“赋值问题”
例3(1)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为
A.-1B.0C.1D.2;;(2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C),求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.;“赋值法”在二项展开式中的应用
(1)观察:先观察二项展开式左右两边式子的结构特征.
(2)赋值:结合待求和上述特征,对变量x赋值,常见的赋值有x=-1,x=0,x=1等等,具体视情况而定.
(3)解方程:赋值后结合待求建立方程(组),求解便可.;跟踪训练3若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为________.;角度2二项展开式的特定项问题;解得n=10(负值舍去),;(2)求展开式中系数的绝对值最大的项;;设第k+1项系数的绝对值最大,则;;二项式特定项的求解策略
(1)确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要求的二项式中的有关元素.
(2)确定二项展开式中的常数项:先写出其通项公式,令未知数的指数为零,从而确定项数,然后代入通项公式,即可确定常数项.
(3)求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项公式,再由条件确定项数,然后代入通项公式求出此项的系数.
(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质.;(1)求展开式的所有有理项(指数为整数);;
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