北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 §4 4.1 直线与平面平行 (2).ppt

§4平行关系4.1直线与平面平行

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑

自主预习·新知导学

一、直线与平面平行的性质定理【问题思考】1.如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的?提示:平行或者异面.2.若直线a与平面α平行,则在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.

3.如果直线a与平面α平行,那么经过直线a的平面与平面α有哪几种位置关系?提示:经过直线a的平面与平面α平行或相交.4.如果直线a∥平面α,经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么直线a,b的位置关系如何?为什么?提示:如答图6-4-1,直线a,b的位置关系为平行.因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何直线无公共点.所以直线a与直线b无公共点.又a,b?β,所以a∥b.答图6-4-1

5.直线与平面平行的性质定理表6-4-1

6.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线().A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,在平面α内C.有两条,不一定都在平面α内D.有无数条,不一定都在平面α内

解析:如答图6-4-2,因为l∥平面α,P∈α,所以P为直线l外一点.所以直线l与点P确定一个平面β.设α∩β=m,则P∈m,所以l∥m,且m是唯一的.答案:B答图6-4-2

二、直线与平面平行的判定定理【问题思考】1.如图6-4-1,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面α,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?为什么?提示:平行;因为没有公共点,所以CD∥α.图6-4-1

2.直线与平面平行的判定定理表6-4-2

3.能保证直线a与平面α平行的条件是.(填序号)?①b?α,a∥b;②b?α,c∥α,a∥b,a∥c;③b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD;④a?α,b?α,a∥b.解析:由线面平行的判定定理,可知④正确.答案:④

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一直线与平面平行的判定【例1】如图6-4-2,P是?ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF∥平面PEC.图6-4-2

证明:如答图6-4-3,取PC的中点G,连接EG,FG.∴四边形AEGF为平行四边形.∴EG∥AF.又AF?平面PEC,EG?平面PEC,∴AF∥平面PEC.答图6-4-3

反思感悟证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.首先要看是否有直接可用的平行线,若无,则考虑根据已知条件作出所需要的平行线,其口诀是“见分点连分点,找出平行线”,有时的分点是中点,通常考虑三角形中位线.

探究二直线与平面平行的性质【例2】如图6-4-3,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:PA∥GH.分析:要证线线平行,先证线面平行,再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线.图6-4-3

证明:如答图6-4-4,连接AC交BD于点O,连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点.又M是PC的中点,∴AP∥OM.又OM?平面BMD,PA?平面BMD,∴由直线与平面平行的判定定理,得PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,∴由直线与平面平行的性质定理,得PA∥GH.答图6-4-4

反思感悟线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由性质定理得出线线平行的结论.

探究三直线与平面平行的综合应用【例3】如图6-4-4,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.分析:根据已知AB∥平面MNPQ,CD∥平面MNPQ,由线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.图6-4-4

证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由直线与平面平行的性质定理,得AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形.

证明:由上例知,PQ∥AB,

2.若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.解:由上例知,四边形MNPQ是平行四边形,AB∥PQ,DC∥QM.∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.∵