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;内容索引;课标解读;强基础固本增分;1.直线与圆的位置关系与判断方法;微点拨1.过一点求圆的切线方程时,要先判断点与圆的位置关系,以便确定切线的条数.
2.切线长:从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点M(x0,y0)引圆的两条
切线,切线长为.;2.圆与圆的位置关系;微点拨当两圆内含时没有公切线,当两圆内切时有1条公切线,当两圆相交时有2条公切线,当两圆外切时有3条公切线,当两圆外离时有4条公切线.;常用结论
1.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.;6.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中a,b是定值,r是参数.
7.过直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).;研考点精准突破;;规律方法关于直线与圆的位置关系的两个注意点
(1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易求,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.;对点训练1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
(2)已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.[0,2) D.(-∞,2);答案:(1)B(2)A
解析:(1)因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,;考向2直线与圆位置关系的应用
例2(1)(2020全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为()
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0;又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.
两圆方程相减,得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.;(3)由k0,根据题意画出直???l:y=kx+b及两圆,如图所示.
由对称性可知直线l必过点(2,0),即2k+b=0,①;规律方法过圆外一点的圆的切线方程的2种求法;对点训练2(1)瑞士著名数学家欧拉证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:
(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为();(2)已知过点P(2,2)且与两坐标轴都有交点的直线l与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l的方程为()
A.3x-4y+2=0 B.4x-3y-2=0
C.3x-4y+2=0或x=2 D.4x-3y-2=0或x=2
(3)若P为直线x-y+4=0上一个动点,过点P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线PM,PN(切点为M,N),则|MN|的最小值是();答案:(1)A(2)A(3)B
解析:(1)∵AB=AC=4,
∴BC边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,即△ABC的“欧拉线”是BC的垂直平分线,;(2)根据题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r=1,要求直线l与两坐标轴都有交点,则直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,;(3)如图,由x2+y2-4x=0可得(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,
如图所示,
要使|MN|的长度最小,即要∠MCN最小,则∠MCP最小,;;(2)在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-
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