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埃舍尔的魔幻图形及其数学原理

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论文导读：摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher）。从事图形艺术的创作。他们的世界都是这幅作品中的全部空间。空间，埃舍尔的魔幻图形及其数学原理。

关键词：埃舍尔，图形，空间，数学原理

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摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher），于1898年出生在荷兰，从事图形艺术的创作。硕士论文，空间。许多数学家热情赞美埃舍尔的作品,他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。1951年2月，马可·塞韦林在期刊《工作室》上发表了一篇关于埃舍尔作品的文章，他认为埃舍尔是一位有独创性的艺术家，埃舍尔能够以一种最震撼人心的方式描绘事物的数学特性。埃舍尔被众多的科学家视为知己。杨振宁的《基本粒子发现简史》就是以埃舍尔的《骑士》作为封面的。1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史和数学史上是极为罕见的。

一、不可能存在的世界

埃舍尔曾坦率地声明，就数学而言，他完全是个门外汉。埃舍尔不喜欢抽象的概念，不过，只要抽象的概念和具体的现实能够有一点联系，他就能够迅速地将概念以某种具体的形式表现出来。50年代至60年代，埃舍尔开始利用人的视觉错误，利用灭点的相对性，让他的作品在三维空间里展现出来。他的作品骤看起来没有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。参观者常常把他们认识的真实世界与埃舍尔的虚构幻象相混淆，

而产生迷惑。画一组直线交与一点，这个点可以代表很多东西包括天顶天底和地平点等等，而究竟是什么点，则完全取决于观者看问题的角度。在埃舍尔1953年制作的石版画《相对性》中，在作品的外围有三个灭点，它们形成了一个边长为两米的等腰三角形，每个灭点都承担着三个不同的功能。在这幅作品中，三个完全不同的世界构成了一个统一的整体，作品中出现的十六个小人可以分成三组，每组小人都生活在自己的世界里。而对于每组小人来说，他们的世界都是这幅作品中的全部空间。其中一组的天花板可能是另一组的墙，一组认为是门的东西可能被另一组认为是地板上的洞。在这幅作品中，有三种不同的引力互成直角，在三个现存的平面中，总有一个可以作为三组人群中某一组的地面，每一组人都会受到某一个引力场的作用。硕士论文，空间。

英国人彭罗斯在《心理学杂志》上发表了不可能的“三杆”理论，就是把极为正常的三杆通过错误的连接而造成的一幅图画。三个直角都很正常，但它们以现实空间中根本不可能的方式连接起来，就形成了一个三角之和为270度的三角形。就在埃舍尔沉迷于不可能世界的建造时，他偶然接触到了彭罗斯的图形。硕士论文，空间。1961年的《瀑布》是埃舍尔依据彭罗斯的“三杆”原理绘制的奇异建筑式图画。他最初的创作意图是要画三座巨大的建筑群，但他突然想到瀑布能够以更引人入胜的方式来阐释“三杆”的荒诞性。如果我们从作品的左上角开始观察，会看到瀑布落下，转动水轮，然后水流顺着砖砌的水渠流走。如果我们跟着水流前行，就会发现它确实是再向下流，并逐渐远离我们。但是，最远最低的点突然变成了最近最高的点，于是瀑布再度跌落，转动水轮。《瀑布》的流水川流不息，完全违反地心吸力，所表达的图像是毫不合理的。他的《上和下》、《观景楼》等作品，都是以非常精巧考究的细节写实手法，生动地表达出各种荒谬的结果。

二、数学的奇妙设计

埃舍尔对晶体形态的规则性和必然性很着迷。他用各种材料来仿造它们，从不同的角度把它们画在纸上。他付出了很多努力才找到进行周期性分割的方法。希腊数学家早就知道只有五种可能的正多面体，并只能由以下形状构成：等边三角形，见于正四面体、正八面体和正二十面体；正方形，见于正六面体；正五边形，见于正十二面体。“所有的柏拉图立体都是外凸的，开普勒与普安索又发现了四种内凹的正多面体。如果我们将各种正多面体划在规则立体的范畴之内，那么还有26种可能的规则立体。我们还可以将各种彼此交叉的立体看做是新的规则立体，就可以得到一个几乎无穷尽的复合规则立体的系列。”[1]柏拉图立体只是所有可能多面体中的很少一部分，如此看来，人类的想象力比大自然要丰富多了。圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几何对象。在木刻《群星》中我们见到了这些名副其实的柏拉图立体。在《引力》中，一个有趣的星状十二面体可以看做是用几种不同的方法构建出来的。它的内部由一个正十二面体构成，每个面都是正五边形，然后在每一个五边形面上叠加一个规则的五面角锥体。硕士论文，空间。每一个五面角锥体里面都居住着一个长脖子的四条腿的怪物，每个怪物的帐篷状房子的墙壁都是其他五个怪物站立的地面。可以认为每个平面都兼为地面和墙壁，这些怪物都受到了一种指向星状多面体中心的吸引力。

早在1946年，埃舍尔在彩色木刻《骑士》中就已经采用了一些具有重要拓扑学价值的形象[