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经历数形结合过程感悟数形互助内涵
——《数与形》教学
【教学内容】
人教版六年级上册第八单元第一课时。
【课前思考】
《数与形》一课的教学,例题和练习中每道题的规律都不一样,很容易上成找规律的课。小学数学中“数形结合”思想散落于各个年级之中。如:数量关系通过“数”来描述数与数之间的关系,画图分析数量关系就是“形”的表现形式;长度、面积、体积是通过“形”来展现其直观形式的,而计算公式又是通过“数”来呈现的;在“统计与概率”中,“数”与“形”更加清晰。受小学生的年龄特征和认知特点所限,思想方法常隐含在众多的数学知识之中。《数与形》一课就是把这层窗户纸捅破,让学生体验“数形结合”的数学思想和方法。《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出,学生几何直观素养的具体表现之一在于能够建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。所以本课不应停留在让学生会用总结得出的规律解决问题,更重要的是让学生在学习过程中感悟数形结合的思想方法,能用数学的思维解决问题。
为了解不同教材采用的不同图形中哪种更能引发学生思考,笔者进行了前测(见文末二维码)。根据前测结果,我们改变教学素材,采用圆点图,充分发挥学生的自主探究能力。
【教学过程】
一、初步体验数形结合——数中有形,形中有数
动态依次出示下图
师:你看到了什么形状?
生:圆点搭成了三角形。
师:你能计算出这里第六个图形一共有多少小圆片吗?说说你是怎么计算的。
生1:1+2+3+4+5+6=21。
生2:1+2+3+4+5+6=(1+6)×6÷2=21。
生3:1+2+3+4+5+6=(1+6)×3=21。
课件演示生2和生3的算理:
小结:从1开始的连续自然数相加的和=(1+末项)×项数÷2,并且末项=项数。
师:像1、3、6、10、15……用圆点表示这些数,我们发现这些圆点都可以摆成等边三角形。2500多年前的古希腊,数学家毕达哥拉斯,就发现了这些数的特点,他称这样的数为“三角形数”。你还能继续往下找三角形数吗?你是怎么找到的?
生:三角形数就是从1开始的连续自然数相加的和。
师:回顾刚才的学习,我们先看到了图形,接着用算式表示了圆点的总数,然后又用图形帮助我们找到了简便计算的方法。有数,也有形;数中有形、形中有数,这节课我们来学习《数与形》。
二、经历过程,感受数形互助——依数思形,依形思数
1.认识正方形数,感受“以形助数”
教师出示课件,动态演示三角形数,隐去偶数层:
师:你能算出现在这个图形中小圆片的个数吗?说说你是怎么算的。
生:1+3+5+7+9+11=36。
师:能不能像刚才那样用图形来说明计算的过程?请你摆一摆小圆片,看看有什么发现。
师:生2的方法中你能找到1+3+5+7+9+11这个算式吗?试着找找看。
师:观察这个图形,有什么发现?
生:摆成了边长是6的正方形,1+3+5+7+9+11=6×6=36。
生:1+3+5+7+9=5×5=25,摆成了边长是5的正方形,刚好是5个连续奇数。
师:所以,像1、4、9、16、25、36……这样的数,叫作正方形数。正方形数可以怎样得到呢?
生:正方形数是从1开始的连续奇数相加的和。
小结:从1开始的连续奇数相加的和=奇数个数的平方。
2.尝试练习,加深理解
师:想一想,怎样才能算得又对又快?
1+3+5+7+9+11+13+15=__________________=92
1+3+5+7+5+3+1=__________
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=______________
生:想到这个式子的图形,计算就快了。
课件演示:
小结:图形帮助我们解决了计算的问题。
3.探究方阵图,感受“以数解形”
师:(出示6×6的方阵图)你能用哪些算式来计算这里一共有多少个圆点?想到几种就写几种。
(学生独立操作,交流反馈作品)
师:同学们,回顾一下刚才我们的探究过程。在探究正方形数时,我们从一个算式想到相对应的形,形帮助我们解决了数的计算问题;在探究6×6方阵图时,用算式来解决这个形的问题,我们发现可以有很多不同的算法,最终结果都是36个。现在你们觉得数和形之间有着怎样的关系呢?
生:数和形关系密切,你中有我,我中有你,互相帮助。
小结:看到数,我们可以想象它对应的形;看到形,我们可以想它对应的数。数形结合,可以帮助我们解决问题。
三、深刻感悟数形内涵——数形紧密联系、不可分割
1.探究长方形数,解决问题
师:研究了三角形数、正方形数,让我们猜想一下,有没有长方形数?五边形数、六边形数……这样的数呢?来看看刚才的作品,有没有给你启发的地方?
学生思考后,教师课件演示:
生:作品⑥和作品④去掉6,都可以转化成2+4+6+8+10这样的从2开始的连续偶数相加。
生:我发现
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