北师版高考总复习一轮数学精品课件 第八章 立体几何与空间向量 解答题专项四 第1课时 利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离.ppt

第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离第八章解答题专项四

考情分析:从近两年的新高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,分值约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.

1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2=0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为nl∥αu⊥n?u·n=0l⊥αu∥n??λ∈R,使得u=λnn1,n2分别是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2=0

3.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则

(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则

(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则

4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离

(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离

考点一利用空间向量证明平行、垂直例题如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.

证明以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,

(2)如图,取AP的中点E,连接BE,又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.

规律方法利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤

对点训练在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.证明:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.

证明(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则

即B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.

考点二与平行、垂直有关的存在性问题例题(12分)(2023·四川遂宁高三检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC为正三角形,四边形ACC1A1是菱形,D,E分别是AC,CC1的中点,平面ACC1A1⊥平面ABC.(1)求证:A1C⊥平面BDE.(2)若∠C1CA=60°,在线段DB1上是否存在点M,使得AM∥平面BDE?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

【规范解答】

【教师讲评】(1)连接AC1,由四边形ACC1A1为菱形可得DE⊥A1C,再证得BD⊥A1C,利用线面垂直的判定定理解决.(2)连接C1D,根据几何体特点建立空间直角坐标系,先假设存在满足条件的点,在此条件下,转化为向量之间的关系,由此建立方程,如果有解且满足题意,则说明这样的点存在,如果无解或者