北师版高考总复习一轮数学精品课件 第八章 立体几何与空间向量 解答题专项四 第3课时 翻折问题与探索性问题.ppt

第3课时翻折问题与探索性问题第八章解答题专项四

考点一翻折问题例题(2022·山东威海三模)如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,M,N分别是AB,AC上的点,且AM=AN=4,E是BC的中点,AE交MN于点F.以MN为折痕把△AMN折起,使点A到达点P的位置(0∠PFEπ),连接PB,PE,PC.(1)证明:MN⊥PE;(2)设点P在平面ABC内的射影为点Q,若二面角P-MN-B的大小为π,求直线QC与平面PBC所成角的正弦值.

(1)证明因为△ABC是等边三角形,E是BC的中点,所以AE⊥BC.因为AM=AN=4,所以MN∥BC,所以MN⊥AE,可得MN⊥PF,MN⊥EF,又PF∩FE=F,所以MN⊥平面PEF,又PE?平面PFE,所以MN⊥PE.(2)解因为MN⊥PF,MN⊥FE,由第(1)问知,MN⊥平面PFE,MN?平面ABC,所以平面ABC⊥平面PFE,又因为平面PFE∩平面ABC=AE,所以点P在平面ABC内的射影点Q在AE上,

规律方法翻折问题的两个解题策略

对点训练(2022·山东烟台三模)如图,在平面五边形PABCD中,△PAD为正三角形,AD∥BC,∠DAB=90°且AD=AB=2BC=2.将△PAD沿AD翻折成如图所示的四棱锥P-ABCD,使得PC=.E为PD上一点,F,Q分别为AB,CE的中点.

(1)证明取DC的中点M,连接MF,MQ.则MQ∥PD,MF∥DA.因为MQ?平面PAD,MF?平面PAD,所以MQ∥平面PAD,MF∥平面PAD,MQ∩MF=M,所以平面MQF∥平面PAD,因为FQ?平面MQF,所以FQ∥平面PAD.

考点二与空间角有关的探究性问题例题(2022·山东德州二模)《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,是当时世界上最简练有效的应用数学之一,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体,是指底面为矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,现有如图所示“阳马”P-ABCD,底面为边长为2的正方形,侧棱PA⊥平面ABCD,PA=2,E,F为边BC,CD上的点,点M为AD的中点.(1)若λ=,证明:平面PBM⊥平面PAF;(2)是否存在实数λ,使二面角P-EF-A的大小为45°?如果不存在,请说明理由;如果存在,求此时直线BM与平面PEF所成角的正弦值.

解(1)当λ=时,点E,F分别为BC,CD边上的中点,连接AF与BM交于点G,在△ABM和△DAF中,AB=AD,AM=DF,∠BAM=∠ADF=90°,所以△ABM≌△DAF,于是∠ABM=∠FAD.而∠FAD+∠BAF=90°,所以∠ABM+∠BAF=90°,故∠AGB=90°,即BM⊥AF.又PA⊥平面ABCD,BM?平面ABCD,所以PA⊥BM.因为BM⊥PA,BM⊥AF,PA?平面PAF,AF?平面PAF,PA∩AF=A,所以BM⊥平面PAF.又因为BM?平面PBM,所以平面PBM⊥平面PAF.

(2)连接AC,交EF于点Q,连接PQ,记BD与AC交于点O,如图:因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,又PA⊥平面ABCD,EF?平面ABCD,故PA⊥EF,又PA∩AC=A,故EF⊥平面PAC,PQ?平面PAC,从而PQ⊥EF,所以∠AQP为二面角P-EF-A的平面角.由题意,∠AQP=45°,从而AQ=PA=2,

规律方法与空间角有关的存在性问题的解题流程

图1图2(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B-MD-E的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角B-MD-E的正弦值大小.

解(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.又DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面,又EN∥平面BMD,EN?平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四边形NEDP为平行四边形,所以NP=DE,则DE=BC,即λ=.

(2)取DE的中点O,连接MO,因为平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,如图建立空间直角坐标系,

考点三最值、范围问题例题(12分)(2021·全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

【规范解答】

(2)解∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又A