高中数学课件：4-2-2等差数列的前n项和1.pdfVIP

4.2.2等差数列的

前n项和公式

德国著名数学家、物理学家、

天文学家，近代数学奠基者

之一，并享有数学王子之

称.他和阿基米德、牛顿、欧

拉并列为世界四大数学家.

创设情境

据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1+2+3+.+100=?

当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却

用下面的方法迅速算出了正确答案：

高斯的算法实际上解决了求等差数列首尾

配对相

1,2,3,…,n,…

加法

前100项和的问题。

探究新知

思考：高斯在求和过程中利用了数列的什么性质?你能从中

得出求数列的前n项和的方法吗?

设a,=n,那么高斯的计算方法可以表示为

可以发现，高斯在计算中利用了

a?+a?oo=a?+agg=…=aso+asi

在问题中高斯运用的是“首尾配对”的方法，它使不同数

求和问题转化为相同数(即101)的求和，从而简化运算.

探究新知

探究：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗?

思路1(拿出中间项，再首尾配对)

思路2(拿出末项，再首尾配对)

原式=(1+2+3+…+100)+101

结论：当n为奇数时，

思路3(先凑成偶数项，再配对)“首尾配对”不太

原式=(1+2+3+…+101+102)-102

方便

思路3(先凑成偶数项，再配对)

原式=0+1+2+3+…+100+101

探究新知

将上述方法推广到一般，可以得到：

当n为偶数时，

于是有Sn=1+2+3+…..+n

=(1+n)+(1+n)…+(1+n)

=(1+n)=n(m)

探究新知

当n为奇数数时，有

Sn=1+2+3+…...+n

=(1+n)+(1+n)…+(1+n)+

能否设法

避免分类

=(1+n)+=

讨论?

所以，对于任意正整数n,都有

S,=1+2+3+…+n=md

探究新知

问题呈现：传说印度泰姬陵的陵寝中有一个三角形图案，以相

同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(见右图),奢靡之程度，

可见一斑.你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

探究新知

问题：图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石?

21借助几何图形之

220

319直观性，把这个“三

角形”倒置，与原图

补成平行四边形.