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第六章计数原理
6.3二项式定理
6.3.1二项式定理
一、教学目标
1、正确理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
2、掌握二项式定理,并解决一些简单的问题.
二、教学重点、难点
重点:对二项式定理、通项公式的掌握和理解.
难点:利用计数原理推导出二项式定理.
三、学法与教学用具
1、学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具:多媒体设备等
四、教学过程
(一)创设情景,揭示课题
【情景一】杨辉三角
【情景二】二项式定理的发展历史
【情景三】(1)今天是星期五,那么7天后的这一天是星期几呢?(星期五)
(2)如果是15天后的这一天呢?(星期六)
(3)如果是24天后的这一天呢?(星期一)
(4)如果是天后的这一天呢?
【问题】解决情景三的问题,需要讨论展开的问题.
(二)阅读精要,研讨新知
【阅读研讨】阅读课本,记忆相关的结论.
【公式的推导解读】
项
取0个
取1个
取2个
系数
1
2
1
项
取0个
取1个
取2个
取3个
系数
1
3
3
1
项
取0个
取1个
取2个
取3个
取4个
系数
1
4
6
4
1
【归纳猜想】
,.(1)
【公式解读】公式(1)叫做二项式定理(binomial?theorem),?右边的多项式叫做的二项展开式,
其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项,
用表示,即通项为展开式的第项:.
在二项式定理中,若设,则得到公式:
令,可得
【结论】,请思考这个结论有什么意义.
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2(用时约为2-3分钟,教师作出准确的评析.)
例1求的展开式.
解:根据二项式定理,
例2?(1)?求的展开式的第4项的系数;
(2)求的展开式中的系数.
解:(1)的展开式的第4项是
所以的展开式的第4项的系数是280
(2)的展开式的通项是
令,则
因此,展开式中的系数是
【情景三】(1)今天是星期五,那么7天后的这一天是星期几呢?(星期五)
(2)如果是15天后的这一天呢?,所以是星期六
(3)如果是24天后的这一天呢?,所以是星期一
(4)如果是天后的这一天呢?
【解析】(4)由二项式定理得
,所以是星期六.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5,同桌交换检查,老师答疑.
【练习答案】
(三)探索与发现、思考与感悟
1.已知则的值为()
A.31B.32C.63D.64
解:由已知及二项式定理,
所以,,故选C
2.设为虚数单位,则的展开式中含的项为()
A. B.C. D.
解:二项式QUOTEx+i6展开的通项,则其展开式中含的项是当,
即时,展开式中含的项为QUOTEC62.故选A.
3.的末尾连续0的个数为()
A.1B.3C.5D.8
解:由已知及二项式定理,
,故选B
4.若QUOTEx2-1xn的展开式中第三项与第五项的系数之比为QUOTE314,则展开式中常数项是()
A. B.10 C. D.45
解:因为展开式的通项公式为,
由已知,解得,所以
令,所以,所以常数项为.故选D.
(四)归纳小结,回顾重点
二项式定理(binomial?theorem)
叫做二项式系数
二项展开式的通项
(五)作业布置,精炼双基
1.完成课本习题6.31、2、3、4、5
2.预习6.3.2二项式系数的性质
五、教学反思:(课后补充,教学相长)
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