高中数学人教A版：_正弦定理 课件.pdfVIP

6.4平面向量的应用

6.4.3第二讲正弦定理

1情境导入

思考一下：

出边BC吗?

[提示]不能。

(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?

因此我们由那视频可以得出：

1

sinA=ebC

CB

inB=a

2定理推导

sn4-oAC

b

bsna-sne=c

二

sinBCB

)Ca

又因为sinC=sin90°=1

Rt△ABC边与它对角的正弦比为：

关系式：

sna-sng-snc

思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是

否仍然成立?

向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角

的正弦。如何实现转化?

由诱导公式cosa)=sina可知，我们可以通

过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系

转化为正弦关系。

利用向量法证明正弦定理

B

如图，△ABC为锐角三角形，过点A作与AC垂

jィca

直的单位向量j,则j与AB的夹角为A1bC

c-A,j与CB的夹角为，-C

同理，过点C作与CB垂直的单位向量m,可得

在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?

B,

【提示】成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝

角。过点A作与AC垂直的单位向量j,则与AB的夹角为A空j与CB的

夹角为“C.仿照上述方法，同样可得：AC

sna-sng-snc

正弦定理

条件

结论ama==c

在一个三角形中，各边和它所对角的.正弦的比相

文字叙述

等

以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事

实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方

法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方

法吗?

利用三角形的高证明正弦定理

(1)当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据锐角三角

函数的定义，有CD=asinB,CD=bs