专题01 锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）（原卷版） .docx

专题01锐角的三角函数重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）

题型一正弦、余弦与正切的概念辨析

题型二求角的正弦值

题型三已知正弦值求边长

题型四求角的余弦值

题型五已知余弦值求边长

题型六求角的正切值

题型七已知正切值求边长

知识点1：正切与余切

1.正切

直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tanA．

．

2.余切

直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cotA．

．

a

a

c

A

B

C

b

知识点2：正弦与余弦

1.正弦

直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sinA．

．

2.余弦

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cosA．

．

a

a

c

A

B

C

b

【经典例题一正弦、余弦与正切的概念辨析】

【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（????）

A．个 B．个 C．个 D．个

1．（2023·浙江杭州·一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（）

A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝

2．（22-23九年级上·全国·单元测试）当时，．在中，CD是斜边AB上的高，那么与的值相等的锐角三角函数是．

3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）

【经典例题二求角的正弦值】

【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的正弦值（）

??

A．扩大2倍 B．缩小 C．扩大4倍 D．不变

1．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，点在正方形网格的格点上，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·浙江杭州·一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若的顶点都在格点上，则的值为．

??

3．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，为边上一点，且，若与的面积比为∶．

??

(1)求证：；

(2)当时，求．

【经典例题三已知正弦值求边长】

【例3】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（）

A．3 B． C． D．6

1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图是一段索道的示意图．若米，，则缆车从A点到B点上升的高度BC的长为（????）

??

A．米 B．米 C．米 D．米

2．（23-24九年级上·上海金山·期末）如果是直角三角形的一个锐角，，那么．

3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．

(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；

(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．

【经典例题四求角的余弦值】

【例4】（2024·广东汕头·模拟预测）中，若，，，则的值为（????）

A． B． C． D．

1．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则（????）．

A． B． C． D．

2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则．

3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，于，，试求：

(1)的值；

(2)的值；

(3)的值．

【经典例题五已知余弦值求边长】

【例5】（2023·上海长宁·一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=a，那么AC的长是()

A． B．3a C． D．

1．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么AB的长为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．

3．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．

??

(1)已知，求的长；

(2)求的值．

【经典例题六求角的正切值】

【例6】（23-24九年级上·上海静安·期末）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（???）

A． B． C． D．

1．（2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点P与原点O的连线与x轴