概率论第7-10章课后习题答案.docVIP

习题七

1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.

【解】因此np=

所以p的矩估计量

2.设总体X的密度函数

f（x,θ）=

X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.

【解】

令E(X)=A1=,因此=

所以θ的矩估计量为

3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.

（1）f（x，θ）=

（2）f（x，θ）=

【解】（1）似然函数

由知

所以θ的极大似然估计量为.

(2)似然函数,i=1,2,…,n.

由知

所以θ的极大似然估计量为

4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

收益率

0.01

-0.11

-0.12

-0.09

-0.13

-0.3

0.1

-0.09

-0.1

-0.11

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.

【解】

由知,即有

于是

5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.

【解】(1),令，则

且,

所以θ的矩估计值为且是一个无偏估计.

(2)似然函数,i=1,2,…,8.

显然L=L(θ)↓(θ0)，那么时，L=L(θ)最大,

所以θ的极大似然估计值=0.9.

因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计.

6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2，=k,问k为何值时为σ2的无偏估计.

【解】令i=1,2,…,n-1,

则

于是

那么当,即时,

有

7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本

试证都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.

【证明】（1）

,

所以均是μ的无偏估计量.

(2)

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：

14.715.014.814.915.115.2

试求μ的置信概率为0.95的置信区间.

【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,

,

μ的置信度为0.95的置信区间为

.

9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？

【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为,

于是置信区间长度为,

那么由≤L,得n≥

10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：

64694992559741848899

846610098727487844881

（1）求μ的置信概率为0.95的置信区间.

（2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间.

【解】

(1)μ的置信度为0.95的置信区间

(2)的置信度为0.95的置信区间

11.设总体X~f(x)=

X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.

【解】(1)

又

故

所以θ的矩估计量

(2)似然函数

.

取对数

所以θ的极大似然估计量为

12.设总体X~f(x)=

X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本

（1）求θ的矩估计量；

（2）求.

【解】(1)

令

所以θ的矩估计量

(2)，

又

于是

,

所以

13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为

f(x,θ)=

其中θ(θ0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.

【解】似然函数

由

那么当

所以θ的极大似然估计量

14.设总体X的概率分布为

X

0123

P

θ22θ(1-θ)θ21-2θ

其中θ(0θ)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的