重难点突破 直线与圆的综合应用（八大题型）（解析版）--2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx

重难点突破03直线与圆的综合应用

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：距离的创新定义 2

题型二：切比雪夫距离 6

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题 11

题型四：闵氏距离问题 15

题型五：圆的包络线问题 17

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题 20

题型七：圆中的垂直问题 25

题型八：圆的存在性问题 28

03过关测试 31

直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。

题型一：距离的创新定义

【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以可以转化为到的距离，

同理，可以转化为到的距离，

因为，

所以到两定点和的距离之和为，

所以在以点和为焦点的椭圆上，

设椭圆的标准方程为：，

则，，

即，

又，

所以，

所以椭圆的方程为：，

由，

得，

解得，.

故选：D.

【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题，，

，

所以A，B之间的余弦距离为.

故选：A.

【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设为坐标原点，由，，，

知,且为锐角三角形，

因此，费马点M在线段上，设，如图，

则为顶角是120°的等腰三角形，故，

所以，

则的最小值为.

故选：B

【变式1-2】以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120o时，正等角中心点P满足以下性质：

（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为

【答案】

【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，

则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，

因为ΔABC是等腰三角形，，

所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，

令ΔABC的费马点为，则在上，则，

因为ΔABC是锐角三角形，由性质（1）得，

所以，所以，所以，

，到、、的距离分别为，，

所以的最小值，

即为费马点到点、、的距离之和，则．

故答案为：．

【变式1-3】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.请你写出到两条线段，距离相等的点的集合，，，其中，，，，，是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是①3分；②5分．①，，，；②，，，．你选择第种情形，到两条线段，距离相等的点的集合.

【答案】①，轴②轴非负半轴，抛物线，直线

【解析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.

对于①，，，，；

利用两点式写出两条直线的方程：，：，

到两条线段，距离相等的点的集合，，，

根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，

到两条线段，距离相等的点的集合为，

对于②，，，，．

根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点是轴的非负半轴，抛物线抛物线，直线

故满足条件的集合且.

综上所述，①，；②，且

.

题型二：切比雪夫距离

【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:

①对任意三点，都有

②已知点和直线则

③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是（????）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】D

【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；

若，或，对调，可得；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，

由矩形或矩形，；

则对任意的三点，，，都有，故①正确；

②