北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 §3 第2课时 空间图形的基本事实4及等角定理.ppt

§3空间点、直线、平面之间的位置关系第2课时空间图形的基本事实4及等角定理

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑一题多解随堂练习

课标定位素养阐释1.掌握基本事实4和等角定理.通过学习基本事实4和等角定理,提升逻辑推理素养.2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.3.会求异面直线所成的角,通过学习异面直线所成角的定义及求异面直线所成的角提升直观想象素养.

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一、基本事实4与等角定理【问题思考】1.观察图6-3-7中电线杆所在直线、电线所在直线的位置关系.回答下列问题.(1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系?(2)图中两根电线杆所在直线具有怎样的位置关系?电线所在直线与电线杆所在直线又具有怎样的位置关系?(3)观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是什么样的位置关系?图6-3-7

提示:(1)平行或相交.(2)两根电线杆所在直线互相平行,电线所在直线与电线杆所在直线相交或异面.(3)异面直线.

2.(1)基本事实4表6-3-3

(2)空间两条直线的位置关系表6-3-4

(3)定理(又称为等角定理)文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.符号表示:OA∥OA,OB∥OB?∠AOB=∠AOB或∠AOB+∠AOB=180°.作用:判断或证明两个角相等或互补.

3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于.解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理,如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°.答案:30°或150°

二、异面直线所成的角【问题思考】1.如图6-3-8,已知两条异面直线a,b,如何作出这两条异面直线所成的角?提示:如答图6-3-8,在空间任取一点O,过点O作直线a∥a,b∥b,则两条相交直线a,b所成的锐角或直角θ即为两条异面直线a,b所成的角.图6-3-8答图6-3-8

2.异面直线a,b所成角的范围是什么?大小与什么有关?与点O的位置有关吗?提示:(0°,90°];a与b所成角的大小只由a,b的相互位置确定;与点O的选择无关.

3.表6-3-5

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与BC1所成的角的大小为.?解析:∵BB1∥AA1,∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1所成的角,其大小为45°.答案:45°

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)已知a,b,c,d是四条直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d.()(2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,则这两个角互补.()(3)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a?α,b?β,则a,b是异面直线.()(4)不平行的两条直线的位置关系为相交.()(5)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.()√√×××

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一基本事实4的应用【例1】如图图6-3-9,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.图6-3-9

证明:如答图6-3-9,设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.∵E是AA1的中点,∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C1,∴EQB1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形.∴B1EC1Q.又Q,F分别是边DD1,C1C的中点,∴QDC1F.∴四边形QDFC1为平行四边形.∴C1QDF.∴B1EDF.∴四边形B1EDF为平行四边形.答图6-3-9

反思感悟空间中证明两直线平行的方法:(1)借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.(2)利用基本事实4证明,即证明两直线都与第三条直线平行.

【变式训练1】如图6-3-10,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE∥AC.图6-3-10

证明:连接PD,PE并延长分别交AB,BC于点M,N,如答图6-3-10.因为D,E分别是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点,连接MN,则MN∥AC.∴DE∥MN.∴DE∥AC.答图6-3-10

探究二等角定理的应用【例2】如图6-3-11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB的中点.