北师版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 解答题专项 第1课时 利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离.ppt

第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离

考情分析:立体几何解答题是高考六大解答题之一,为必考内容.以多面体、旋转体或组合体为载体,考查空间位置关系判定与性质的应用、空间角或空间距离.空间位置的判定与证明多用几何法,也可用向量法.空间角或距离的求解则主要利用向量法,重点考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养,难度中等.

知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量(1)如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知:这些方向向量都平行,因此与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2=0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为nl∥αu⊥n?u·n=0l⊥αu∥n??λ∈R,使得u=λnn1,n2分别是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2=0

3.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则

(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的

(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则

4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离

(2)点到直线的距离

(3)点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α

考点一利用空间向量证明平行、垂直例1如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,2AB=2AD=CD=4,AD⊥CD,AB∥CD,M为CE的中点.求证:(1)BM∥平面ADEF;(2)BC⊥平面BDE.

证明(1)(方法一几何法)取DE的中点N,连接AN,MN.所以MN∥AB且MN=AB,所以四边形ABMN是平行四边形,所以BM∥AN.又AN?平面ADEF,BM?平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.

(方法二向量法)因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,DE?平面ADEF,所以DE⊥平面ABCD,又DC?平面ABCD,所以DE⊥DC.如图,以D为坐标原点,以直线DA,DC,DE分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),C(0,4,0),D(0,0,0),E(0,0,2),M(0,2,1).又BM?平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.

所以BD2+BC2=CD2,所以BD⊥BC.因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,DE?平面ADEF,所以DE⊥平面ABCD,又BC?平面ABCD,所以DE⊥BC.又BD∩DE=D,BD,DE?平面BDE,所以BC⊥平面BDE.

[对点训练1]如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.

证明(1)由题意易知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点,分别以AA1,AB,AC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).由题意知AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1,又A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1?平面A1B1C1,所以AA1⊥平面A1B1C1.又MN?平面A1B1C1,所以MN∥平面A1B1C1.

(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令y2=1,则平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1)