北师版高中数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 §3 弧度制.ppt

第一章三角函数§3弧度制

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习

课标定位素养阐释1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式.4.体会数学抽象的过程,加强问题探究与数学运算素养的培养.

自主预习·新知导学

一、弧度制【问题思考】1.在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的?2.在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗?提示:确定.

3.度量角的两种单位制表1-3-1

4.(多选题)下列说法正确的是().A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.在单位圆中,每一段弧的长度等于它所对圆心角的弧度数C.角的正负由角的旋转方向决定D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关解析:根据1度、1弧度的定义可知只有D错,故选ABC.答案:ABC

二、弧度与角度的换算【问题思考】1.角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢?提示:利用1弧度角的定义进行换算,

2.(1)弧度与角度的换算(2)用弧度表示与角α终边相同的角:β=α+2kπ(0≤α2π,k∈Z).

(3)一些特殊角的角度数与弧度数的对应表表1-3-2

3.想一想:某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S={α|α=2kπ+30°,k∈Z},这种表示正确吗?为什么?提示:这种表示不正确,在同一个式子中,角度、弧度不能混用,{α|α=k·360°+30°,k∈Z}.

三、弧长公式【问题思考】1.初中所学的扇形的弧长公式是什么?能用弧度表示吗?提示:初中所学的扇形的弧长公式是l=(其中R是扇形的半径,n为其圆心角的角度数).能用弧度表示.因为α=·2π,所以l=|α|R(其中α为其圆心角的弧度数).

2.圆心角的弧度数公式:|α|=,即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比.3.知识拓展设扇形的半径为R,弧长为l,其圆心角为α,则表1-3-3

4.在半径为10的圆中,240°的圆心角所对的弧长为()答案:A

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)1弧度是长度等于半径的弧.()(2)1弧度是1°的圆心角所对的弧.()(3)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应.()××√√

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一角度与弧度的互化【例1】(1)将112°30化为弧度为;

分析:(1)角度化弧度,先将分、秒化为度,再用公式化成弧度.弧度化角度,含π,利用公式180°=π转化;不含π,利用1rad=转化;(2)首先统一角度或弧度,然后比较大小.

故αβγθ=φ.(方法二:化为角度)显然15°18°57.30°105°,故αβγθ=φ.

反思感悟将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,用公式化成弧度,牢记πrad=180°.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘即可.

【变式训练1】(多选题)下列转化结果正确的有().答案:AB

探究二用弧度表示终边相同的角【例2】如图1-3-1,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合.图1-3-1

解:如题图①,以OB为终边的角为330°,可看成是-30°,如题图②,以OB为终边的角为225°,可看成是-135°,

反思感悟根据已知图形写出区域角的集合的步骤:(1)仔细观察图形;(2)写出区间边界对应的角;(3)用不等式表示区域范围内的角.注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注意角的集合形式是否能够合并,这一点容易出错.

【变式训练2】如图1-3-2,用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图1-3-2

探究三扇形的弧长、面积公式的应用【例3】(1)《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.图1-3-3

(2)已知扇形OAB的周长是4cm,面积是1cm2,求扇形OAB的圆心角的弧度数.分析:(1)先计算圆心角∠AOB,再根据弧长公式和扇形的面积公式进行求解.(2)先根据题意列关于弧长和半径的方程组,再解方程组求弧长和半径,最后用弧度数公式求圆心角的弧度数.

解:设扇形的半径为Rcm,弧长为lcm,圆心角为α,则2R+l=4.

1.将本例(2)中的条件“4”改为“10”,“1”改为“4”,其他条件不变,求扇形圆心角的弧度数.

解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π),弧长为lcm,半径为rcm,由①得l=10-2r,代入②得r2-5r+4=0,解得r1