北师版高考总复习一轮数学精品课件 第11章计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节离散型随机变量及其分布列、数字特征.ppt

第6节离散型随机变量及其分布列、数字特征

课标解读1.了解离散型随机变量的概念.2.理解并会求离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).

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1强基础固本增分

知识梳理微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.1.随机变量的有关概念(1)随机变量在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示.(2)离散型随机变量:取值能够出来的随机变量.?分两类:离散型随机变量和连续型随机变量一一列举

2.离散型随机变量的分布列及性质(1)若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作.上式也可以列成表,如表:?xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…上表或上式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi0(i=1,2,…,n,…);?②=1.?P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…)p1+p2+…+pn+…

3.离散型随机变量的均值与方差(1)均值设离散型随机变量X的分布列如表Xx1x2…xi…xn?Pp1p2…pi…pn?则称EX=为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).?反映了离散型随机变量取值的平均水平x1p1+x2p2+…+xnpn

(2)方差若离散型随机变量X的分布列如表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,记作σX.?

微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?提示随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.

4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aEX+b.(a,b为常数)(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数)

常用结论1.Ek=k,Dk=0,其中k是常数.2.E(X1+X2)=EX1+EX2.3.DX=E(X2)-(EX)2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=EX1EX2.

自主诊断√×√题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()

2.已知X的分布列为设Y=2X+3,则EY的值为()A

3.(已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.1则DX=.?0.84解析由题意知EX=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以DX=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.

题组二连线高考4.(2014·浙江,文11)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.?

5.(2020·浙江,16)盒子里有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球,从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=;E(ξ)=.?1

2研考点精准突破

考点一离散型随机变量分布列的性质

[对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.解(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表为X012342X+113579

从而Y=2X+1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)首先列表为X01234|X-1|10123所以P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)