北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 §3 3.1 向量的数乘运算.ppt

§3从速度的倍数到向量的数乘

3.1向量的数乘运算;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、数乘向量的定义及其几何意义

【问题思考】

1.实数与向量相乘结果是实数还是向量?

提示:向量.

2.一物体做匀速直线运动,1s的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3s的位移对应的向量为3a,在相反方向上3s的位移对应的向量为-3a,那么向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?

提示:3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.;3.(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.满足以下条件:

①当λ0时,向量λa与向量a的方向相同;

当λ0时,向量λa与向量a的方向相反;

当λ=0时,0a=0.

②|λa|=|λ||a|.

这种运算称为向量的数乘.;(2)向量数乘的几何意义

如图2-3-1,由实数与向量数乘λa的定义可以

看出,它的几何意义是:

当λ0时,表示向量a的有向线段在原方向

伸长或缩短为原来的|λ|倍;

当λ0时,表示向量a的有向线段在反方向

伸长或缩短为原来的|λ|倍.;(3)单位向量:

在非零向量a方向上的单位向量是.它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量,这一过程称为向量的单位化.;二、数乘向量的运算律

【问题思考】

1.类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?

提示:结合律、分配律.;2.(1)向量数乘的运算律:

设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:

①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.

(2)线性运算:

向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).;3.下列各式计算正确的有().

①(-7)6a=-42a; ②7(a+b)-8b=7a+15b;

③a-2b+a+2b=2a; ④4(2a+b)=8a+4b.

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析:①③④正确.

答案:C;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)实数λ与向量a的积还是向量.()

(2)若向量λa=0,则λ=0.()

(3)对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反.()

(4)向量-8a的模是向量4a的模的2倍.();合作探究·释疑解惑;探究一向量的线性运算;反思感悟向量数乘的运算??似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成向量的系数.;探究二解向量方程;解:(1)原方程可变形为5x+5a+3x-3b=0,即8x=-5a+3b,;反思感悟向量也可以通过列方程(组)来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.;探究三在几何图形中用已知向量表示未知向量;反思感悟用已知向量表示其他向量的方法;图2-3-3;易错辨析;忽视数乘向量的意义致误

【典例】已知a,b为非零向量,则下列说法正确的是.(填序号)?

①2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;

②-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a模的;

③-2a与2a是一对相反向量;

④a-b与-(b-a)是一对相反向量.

错解:①③④;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:只看表面,没有化简导致错解.;正解:①正确,2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|.

②正确,因为-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向,又因为-a与a反方向,所以-2a与3a反方向.因为|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,所以-2a的模是3a模的.

③正确,因为-2a+2a=(-2+2)a=0,所以-2a与2a是一对相反向量.

④错,因为-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,所以-(b-a)与a-b是相等的.故正确说法的序号是①②③.

答案:①②③;防范措施对数乘向量的四点注意:

(1)λa的实数λ叫作向量a的系数.

(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.

(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.

(4)向量的运算不满足消去律,不能除以一个向量.;随堂练习;1.已知λ,μ∈R,则在下列各命题中,正确的命题有().

①当λ0,a≠0时,λa与a的