北师版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 第3节利用导数研究函数的极值、最值.ppt

第3节利用导数研究函数的极值、最值

课标解读1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.

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知识梳理1.函数的极值函数极值反映的是函数局部的性质取得极值的条件极值极值点在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都?f(x0)为函数的极小值点x0为函数y=f(x)的极小值点f(x0)=0在点x=x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都?f(x0)为函数的极大值点x0为函数y=f(x)的极大值点f(x0)=0在点x=x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0极大值点和极小值点统称为极值点大于点x0处的函数值小于点x0处的函数值

微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.

微思考若函数f(x)可导,则当f(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?提示不一定.f(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.

2.函数的最值反映的是函数整体的性质函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内的函数值都不超过f(x0)(如图).?由图可以看出,最大值或者在(也是导数的零点)取得,或者在取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.?函数的最小值也具有类似的意义和求法.函数的最大值和最小值统称为最值.所有点处极大值点区间的端点

微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得;(3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.

常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,有以下结论:Δ0函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值)函数f(x)在R上不是单调函数Δ≤0函数f(x)在R上不存在极值函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减)

自主诊断××√题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)一个函数的极大值一定比极小值大.()(2)函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.()(3)函数在开区间上的最值一定是相应的极值.()

2.设函数f(x)=ax3+3x+2有极值,则实数a的取值范围是,函数的极值点是.?(-∞,0)解析当a=0时,f(x)=3x+2没有极值,不合题意;当a≠0时,f(x)=3ax2+3,则f(x)=3ax2+3=0应有两个不相等的实数根,所以Δ=-36a0,解得a0,此时f(x)=0的根是x=±,此即为极值点.

3.给定函数f(x)=(x+1)ex,则函数的最小值为.?解析由已知得f(x)=(x+2)ex,令f(x)=0,得x=-2,当x-2时,f(x)0,f(x)单调递减,当x-2时,f(x)0,f(x)单调递增,因此f(x)在x=-2处取得极小值f(-2)=,所以由f(x)的图象(图略)可知,函数的最小值为.

题组二连线高考B

5.(2021·全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.ab B.abC.aba2 D.aba2D

6.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为