对R阶差数列通项公式的证明公开课教案教学设计课件资料.docVIP

对R阶差数列通项公式的证明

杭州长河高级中学邹泗勇邮编310052

摘要：用数学归纳法结合组合数性质对双重变量R阶差数列通项公式进行归纳证明，并利用公式解决一类高考试题。

关键词：R阶差数列，通项公式，数学归纳法，杨辉三角形，求和，莱布尼茨三角形

R阶差数列的通项公式是

（※）

其中为各阶差数列的第一项

许多参考书给出了这个公式，但都没给出严格的证明，本文给出这个公式的一个证明。

先来导出公式。我们用表示第阶差数列的第m项

对于数列

一阶差数列是

二阶差数列是

三阶差数列是

………………

根据组合数字的特征，于是猜测

要证明公式（※）先推导一个引理

引理（其中表示第阶差数列的第m项）

证明：由R阶差数列产生的定义知：任意第i阶差数列的第m项减去它的前一项（m-1项）产生更高一阶差数列的第m-1项

即：移项得

下面用数学归纳法证明公式（※）

我们进而可以证明R阶差数列的任意第i阶差数列（i≤r）的通项式

证明：这里涉及到两个参数n和i，两个参数必须逐个证明。先对i进行归纳证明。

利用这个公式，我们可以成功的解决一些问题

111121133114641151010511615201561例

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

解：第三项和第四项分别落在数列

1，3，6，10…和1，4，10，20…上

求得它们各阶差的首项为

1，2，1和1，3，3，1

求得通项公式分别为

由于第一项对应第二行，故为第17行

2006湖北高考试题（改编）

作一阶差为2，3，4，5……

作二阶差为1，1，1……

求得通项为

因题中第二项对应公式第一项

R阶差数列通项公式在杨辉三角形中有重要的应用，只要我们细心观察，便能得出许多奇妙的结论。