第41讲 立体几何中的压轴小题作业解析版公开课教案教学设计课件资料.docx

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第41讲立体几何中的压轴小题

1．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上．给出下列命题：

①存在点P，使得直线平面ACF；

②存在点P，使得直线平面ACF；

③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；

④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是．

其中所有真命题的序号（???????）

A．①③B．①④ C．①②④D．①③④

【解析】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，

在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，

即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；

假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，

在中，，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，

因此，假设是错的，即②不正确；

因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，

于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，

，而，则，

当P与E重合时，，，因此，，③正确；

因平面平面，平面平面，，平面，则平面，

，在中，，显然有，，

由正弦定理得外接圆直径，，

三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，

所以所给命题中正确命题的序号是①③④．

故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（???????）

A．B． C．D．

【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：

设，连接、、，可知点为的中点，

因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，

设，且，，

所以，球的半径为，

在中，，，，，

在中，，，

由余弦定理可得，

平面，平面，

平面，则，

，，

设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则．

当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；

当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，

此时，取最小值，即．

由题意可得，，解得．

所以，，

因此，球的表面积为．

故选：B．

3．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（）

A．

B．多面体的体积为定值

C．侧面上存在点G，使得

D．直线与直线BC所成的角可能为

【解析】对A：连接，作图如下：

因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，

故可得，则，故A正确；

对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，

故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，

故三棱锥的体积为定值，故B正确；

对C：取的中点分别为，连接，作图如下：

容易知在△中，//，又//，，

面面，故面//面，

又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段；

又因为为正方体，故面面，故，

则当与重合时，，故C正确；

对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即，

在中，，

故，而当直线与直线BC所成的角为时，

，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误．

故选：D．

4．已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：

①若点在线段上运动，则始终有；

②若是棱中点，则直线与是相交直线；

③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；

④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为；

以上命题为真命题的个数为（???????）

A．2B．3 C．4D．5

【解析】因为正方体内切球的表面积为，

设内切球的半径为，则，解得，

所以正方体的棱长为，

因为，且，

所以面，因为面，

所以恒成立，故①是真命题；

由图可知，直线与是异面直线，故②是假命题；

由图可知：因为，三棱锥体积等于三棱锥的体积，

由①知，面，所以点到面的距离为，

因为动点到直线的距离等于1，

所以的面积等于，

所以，故棱锥体积为定值，故③是真命题；

取中点为，中点为，连接，

因为，所以面面，

所以过点，且与平面平行的正方体的截面为面，

由图可知面是菱形，其中对角线长为，

所以，故④是真命题；真命题的个数有3个，

故选：B；

5．已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（???????）

A．B． C．D．

【解析】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，

连接，由题意可知，，所以，

由抛物线定义可知，的轨迹