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线性代数考点总结和解题方法】来源：金鑫松的日志

第一部分:计算问题

四阶行列式的计算；

n阶特殊行列式的计算（如:有行和、列和相等）;

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等

的混合运算)；

求矩阵的秩、逆矩阵（两种方法)；解矩阵方程;

含参数的线性方程组解的情况的讨论;

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多

解)；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示;

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组

线性表示；

将无关组正交化、单位化;

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩

阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩

阵;

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：概念问题

一、行列式

1.行列式的定义

用n方个元素A组成的记号称为n阶行列式。

ｉj

(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素

乘积的代数和；

(２)展开式共有ｎ！项，其中符号正负各半;

２．行列式的计算

(１）常见类型：

一阶|α｜=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

n阶(n=3)行列式的计算：降阶法

定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列）的各元

素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法:选取比较简单的一行（列)，保保留一个非零元

素,其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况:

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角

线上元素的乘积;

(2）行列式值为0的几种情况:

Ⅰ行列式某行（列)元素全为0；

Ⅱ行列式某行(列）的对应元素相同;

Ⅲ行列式某行(列）的元素对应成比例;

Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二.矩阵

1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵,如单位

矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

(1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（２)关于乘法的几个结论:

①矩阵乘法一般不满足交换律(若AＢ＝ＢＡ,称A、B

是可交换矩阵）;

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;

③若A、B为同阶方阵,则｜AＢ|＝|Ａ｜*｜B|;

④|kA|=k^n|Ａ|

3．矩阵的秩

(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;

(2)秩的求法:一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等

于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元

开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4.逆矩阵

(1)定义:A、B为n阶方阵,若ＡB＝ＢA=Ｉ,称A可逆，

B是A的逆矩阵(满足半边也成立);

（2）性质:(AＢ)＾-1=（B^-1)*(Ａ^－1)，（A）^-

1=（Ａ^-1);（AB的逆矩阵)（注意顺序)

(3)可逆的条件:

①|A｜≠0;②r(A)=n;③Ａ-Ｉ;

(4)逆的求解

伴随矩阵法A^-1=(1/|Ａ｜)A*;（A*A的伴随矩

阵～)

②初等变换法（A:I）-（施行初等变换)（I:A＾-１)

5.用逆矩阵求解矩阵方程:

AX=B,则X=（A^-1）B；

XB=A，则Ｘ＝B(A^-1）;

AXB＝Ｃ，则X=（Ａ^-1)C(B^－1)

三、线性方程组

１．线性方程组解的判定

定理:

(1)ｒ(Ａ,b)≠r(A)无解;

(２)r（A，b)=r（A)＝ｎ有唯一解；

(3）r(A,b)=ｒ(A)＜ｎ有无穷多组解；

特别地：对齐次线性方程组AX=0

(１)r(Ａ)＝n只有零解；

(2）r(A)ｎ有非零解;

再特别，若为方阵,

(1）|A|≠0只有零解

(2)|A|=0有非零解

2.齐次线性方程组

（1)解的情况: