北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系.ppt

第四章三角恒等变换

§1同角三角函数的基本关系;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;同角三角函数的基本关系

【问题思考】

1.根据三角函数的定义,回答下列问题:

(1)sin230°+cos245°等于1吗?

提示:不等于1.;(3)sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?;2.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;;(2)sin21020°+cos21020°=.??

答案:(1)D(2)1;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)sin2α+cos2β=1.();合作探究·释疑解惑;探究一利用同角三角函数的基本关系求值;反思感悟利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法

已知角α的某一种三角函数值,求角α的另两种三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.若角α所在的象限已经确定,则求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,则应分类讨论,一般有两组结果.

提醒:应用平方关系求三角函数值时,要注意有关角的终边位置的判断,确定所求值的符号.;【变式训练1】已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.

解:∵sinα+3cosα=0,∴sinα=-3cosα.

又sin2α+cos2α=1,∴(-3cosα)2+cos2α=1,;探究二利用sinα±cosα,sinα,cosα之间的关系求值;1.若将本例条件“α∈(0,π)”改为“α∈(-π,0)”,其他条件不变,求tanα的值.;反思感悟1.由(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα可知,如果已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余两个的值.;2.sinθ±cosθ符号的判定方法:

(1)sinθ-cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sinθ=cosθ,即sinθ-cosθ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0.如图4-1-1.;(2)sinθ+cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sinθ=-cosθ,即sinθ+cosθ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区???内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0.如图4-1-2.;【变式训练2】已知sinθ-cosθ=,求sin3θ-cos3θ的值.;答案:1;反思感悟三角函数式化简的常用方法

(1)化切为弦,即把正切函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.

(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.

(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低次数,达到化简的目的.;易错辨析;因忽视角的取值范围致误;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:错解中没有注意到α∈(0,π),从而可推出sinα0,cosα0,因此所求值是唯一的.;防范措施在利用sinθ±cosθ,sinθcosθ之间的关系解题时,往往容易忽略角的取值范围造成增根或丢根.在已知sinθcosθ的值求sinθ+cosθ或sinθ-cosθ的值时,需开方,因此要由角的取值范围确定取“+”还是“-”.;【变式训练】已知角A是三角形的一个内角,且sinA+cosA

=,则这个三角形是().

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形;随堂练习;答案:BD;答案:A;答案:B