北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §2 2.3 三角函数的叠加及其应用 (2).ppt

§2两角和与差的三角函数公式2.3三角函数的叠加及其应用

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自主预习·新知导学

辅助角公式【问题思考】1.能否将函数y=sinx+cosx(x∈R)化为y=Asin(x+φ)的形式

故-1≤f(x)≤2,即函数f(x)的最大值为2,最小值为-1.答案:2-1

合作探究·释疑解惑探究一探究二

探究一利用辅助角公式研究三角函数性质【例1】已知f(x)=sinx-cosx,求函数f(x)的周期、值域和递增区间.

1.若将本例中函数改为f(x)=-sinx+cosx,其他条件不变,如何解答?

2.若将本例中函数改为f(x)=msinx+mcosx,其中m0,其他条件不变,应如何解答?

反思感悟研究形如y=asinx+bcosx的函数的性质,应先利用辅助角公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再研究性质.

探究二辅助角公式在实际问题中的应用【例2】某商品一年内每件的出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月降至最低价格4元.该商品在商店内每件的销售价格在8元的基础上按月份随正弦曲线波动,5月销售价格最高为10元,9月销售价格最低为6元.

(1)试分别建立每件的出厂价格、销售价格关于月份的函数模型,并分别求出函数解析式;(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销售完,试写出该商品的月利润关于月份的函数解析式;(3)在(2)的基础上,求该商店月利润的最大值.

解:(1)设月份为x,每件的出厂价格(单位:元)为f(x)=A1sin(ω1x+φ1)+k1,x∈[1,12],x∈N+,每件的销售价格(单位:元)为g(x)=A2sin(ω2x+φ2)+k2,x∈[1,12],x∈N+,

反思感悟在实际问题中建立三角函数模型要注意模型的选择,选择合适的三角函数模型后,用三角函数的图象和性质来解决问题.

易错辨析

因忽视变量的取值范围致误所以函数f(x)的最大值是2,最小值是-2.

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:由于x∈,即x不能取任意实数,因此sin(x-φ)的值不一定能取到1和-1,从而原函数的最值不一定是2和-2,应先根据x的取值范围,确定x-φ的取值范围,再求出sin(x-φ)的最值,即得f(x)的最值.

防范措施求三角函数的最值时,要特别注意自变量的取值范围.