北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 §3 二倍角的三角函数公式.ppt

第四章三角恒等变换

§3二倍角的三角函数公式;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、二倍角的正弦、余弦、正切公式

【问题思考】

1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,将得到怎样的结果?

提示:sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα,;2.cos2α能否只用sinα或cosα表示呢?

提示:根据同角三角函数关系式可得

cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α.;;4.求下列各式的值.

(1)4sin15°cos15°=;?;解析:(1)4sin15°cos15°=2×2sin15°cos15°=2sin30°;二、二倍角公式的变形

【问题思考】

1.若将1±sin2α中的“1”用sin2α+cos2α代换,那么1±sin2α可化为什么形式?

提示:1±sin2α=sin2α±2sinαcosα+cos2α=(sinα±cosα)2.

2.(1)1±sin2α=(sinα±cosα)2;?

(2)升幂缩角公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α;;3.求下列各式的值.;三、半角公式

【问题思考】;2.如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?

提示:(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.;(5)半角公式对任意角都适用.();合作探究·释疑解惑;探究一给角求值;反思感悟对于给角求值问题,一般有两类

(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.;【变式训练1】求下列各式的值:

(1)sin112°30cos112°30;;探究二给值求值、给值求角问题;反思感悟解决条件求值问题的方法

(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.;探究三化简与证明问题;反思感悟证明三角恒等式的原则与步骤

(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,那么将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.

(2)证明恒等式的一般步骤

①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;

②??着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.;答案:2sinα;探究四三角恒等变换的综合应用;反思感悟三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.;易错辨析;因忽视角的范围致误;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上述错解在运用二倍角公式从里到外去掉根号时,没有顾及角的范围而选择正、负号,只是机械地套用公式.;随堂练习;答案:B;A.-2cos5° B.2cos5°

C.-2sin5° D.2sin5°;答案:D;答案:AB;解析:∵sin2α=-sinα,

∴2sinαcosα=-sinα.