北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 习题课——同角三角函数的基本关系的应用.ppt

第四章三角恒等变换

习题课——同角三角函数的基本关系的应用;自主预习·新知导学;;自主预习·新知导学;一、同角三角函数的基本关系式的变形

【问题思考】

1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形

(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;

(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;

(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.?;2.若sinx+sin2x=1,则cos2x+cos4x的值是().

A.0 B.1

C.2 D.3

解析:由已知得sinx=1-sin2x=cos2x,

所以cos2x+cos4x=cos2x+(cos2x)2=cos2x+sin2x=1.

答案:B;二、三角函数式的化简与证明方法

【问题思考】

三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.;证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的方法有哪些?

提示:(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.

(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.;(3)中间量法——证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等,即“若a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关系的传递性推出.

(4)分析法——即从结论出发,逐步推向已知条件,其证明过程的书写格式为“要证明……,只需……”,只要所需的条件都已经具备,则结论就成立.;【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.;合作探究·释疑解惑;探究一关于sinα,cosα的齐次式的求值;若本例条件不变,求sin2α-2sinαcosα+1的值.;反思感悟已知tanα的值,求关于sinα,cosα的齐次式的值;探究二一般恒等式的证明;(2)左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1

=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1

=(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1

=-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1

=-(sin2θ+cos2θ)2+1=-1+1=0=右边,

所以原等式成立.;反思感悟1.证明恒等式常用的思路是:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)证左边、右边都等于同一个式子;(3)比较法(作差、作商法).

2.常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).

3.解决此类问题要有整体代换思想.;探究三给出限制条件的恒等式证明问题;反思感悟含有条件的三角恒等式的证明的常用方法有:(1)直接法:从条件直接推到结论;(2)代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;(3)换元法.;易错辨析;忽视sinθ与cosθ的制约关系致误;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上述解法看似合理,但其结果是错误的.如在上述解法所得结果即3m9中取m=4,;正解:∵θ是第二象限角,;防范措施sin2θ+cos2θ=1是恒等式,往往是作为一个隐含条件,如果忽视该条件,那么就容易出错.;【变式训练】若sinα,cosα是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.?;随堂练习;答案:B;答案:3

4.化简sin2α+sin2β-sin2αcos2β-sin2αsin2β的结果为.

解析:原式=sin2α+sin2β-sin2α(cos2β+sin2β)=sin2α+sin2β-sin2α

=sin2β.

答案:sin2β;5.求证:2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.

证法一:左边=2-2sinα+2cosα-2sinα