北师版高中数学必修第二册精品课件 第5章 复数 §1 1.1 复数的概念 (2).ppt

§1复数的概念及其几何意义

1.1复数的概念;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、复数的概念

【问题思考】

1.阅读材料,回答下面的问题:

在自然数集中,方程x+4=0无解,为此引进负数,自然数→整数;在整数集中,方程3x-2=0无解,为此引进分数,整数→有理数;在有理数集中,方程x2-2=0无解,为此引进无理数,有理数→实数.数系的每一次扩充,对数学本身来说,解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾,如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.;(1)方程x2+1=0在R上有解吗?如何对实数集进行扩充,使方程x2+1=0在新的数集中有解?

(2)对于复数z=a+bi(a,b∈R),它的虚部是b还是bi?

(3)复数m+ni的实部、虚部一定分别是m,n吗?

(4)复数z=a+bi(a,b∈R)在什么情况下表示实数?;提示:(1)类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点,在实数集中方程x2+1=0无解,需要引进“新数”扩充实数集.设想引入一个新数i,使i满足两个条件:①i是方程x2+1=0的根,即i2=-1;②新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

(2)虚部为b.

(3)不一定.只有当m∈R,n∈R时,m,n才分别是该复数的实部、虚部.

(4)b=0.;2.(1)i叫作虚数单位,满足i2=-1.

(2)形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部;b称为复数z的虚部.

(3)复数的分类;二、复数的相等

【问题思考】

1.两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)相等定义:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.;(2)已知i为虚数单位,ai+2=b-i(a,b∈R),则a2+b2=.?;合作探究·释疑解惑;探究一复数的概念;解析:对于A,复数-2i的实部为0,虚部为-2,故A错误.

对于B,两个虚数不能比较大小,故B错误.

对于C,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,故C错误.显然,D正确.

答案:D

反思感悟在复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别为复数的实部和虚部.特别注意,复数的虚部为b,而不是bi.当a=0时,a+bi不一定是纯虚数.;探究二复数的分类;反思感悟解决复数分类问题的步骤

(1)化标准式:解题时一定要先看复数是不是a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.

(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.;探究三复数的相等及应用;反思感悟解决复数相等问题的策略

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.

(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.

提醒:若两个复数能比较大小,则这两个复数必为实数.