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第一课时诱导公式(一)第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4诱导公式
课标要求1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
知识探究题型剖析课时精练内容索引
知识探究
1.思考任意角α与-α的终边有怎样的位置关系?结合三角函数线,角α与角-α的三角函数值之间的关系如何? 提示任意角α与-α的终边关于x轴对称.结合三角函数线和两角的对称关系得sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.一、角α与α+2kπ(k∈Z)、-α的三角函数值之间的关系
2.填空(1)角α与α+k·2π的三角函数值之间的关系 ①语言表示:终边相同的角的同名三角函数的值______. ②式子表示:相等sinαcosαtanα
(3)角α与-α的三角函数值之间的关系终边关系图示角-α与角α的终边关于_____对称?公式sin(-α)=__________,cos(-α)=_________,tan(-α)=-tanα.诱导公式②x轴-sinαcosα
温馨提醒根据三角函数的诱导公式①,终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.
1.思考任意角α与π-α的终边有何位置关系?试用三角函数定义验证α与π-α的各三角函数值的关系.二、角α与π±α的三角函数值之间的关系
2.填空(1)角α与π-α的三角函数值之间的关系终边关系图示角π-α与角α的终边关于______对称?公式sin(π-α)=__________,cos(π-α)=____________,tan(π-α)=_________.诱导公式③y轴sinα-cosα-tanα
(2)角α与π+α的三角函数值之间的关系终边关系图示角π+α与角α的终边关于原点对称?公式sin(π+α)=_________,cos(π+α)=_______,tan(π+α)=_______.诱导公式④-sinα-cosαtanα
温馨提醒诱导公式的记忆诱导公式一~四的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上是α可以是任意角.
3.做一做(1)sin225°=________. (2)下列式子中正确的是________(填序号). ①sin(π-α)=-sinα;②cos(π+α)=cosα; ③cosα=sinα;④sin(2π+α)=sinα.④
题型剖析
题型一给角求值例1求下列各三角函数式的值:
=-tan225°=-tan(180°+45°)=-tan45°=-1.
思维升华利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”:用公式1或2来转化;(2)“大化小”:用公式1将角转化为0°到360°间的角;(3)“小化锐”:用公式3或4将大于90°的角转化为锐角;(4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值.
训练11
题型二化简求值例2
思维升华三角函数式化简的常用方法(1)合理转化:①将角化成2kπ±α,π±α,k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
训练201
题型三给值(式)求值例3
思维升华解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
训练3
课堂达标
√
由已知得tan(π+α)=tanα=3,
课时精练
一、基础巩固√1.tan300°+sin450°的值是原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)
√∵sin(-110°)=-sin110°=-sin(180°-70°)=-sin70°=a,2.若sin(-110°)=a,则tan70°=
√
√∵tan(5π+α)=tanα=m,
√5.(多选)若α,β的终边关于y轴对称,则下列等式不成立的是A.sinα=sinβ B.cosα=cosβC.tanα=tanβ D.sinα=-sinβ法一∵α,β的终边关于y轴对称,√√∴α+β=π+2kπ,k∈Z,∴α=2kπ+π-β,k∈Z,∴sinα=sinβ.其余不成立,故选BCD.法二设角α终边上一点P(x,y),则点P关于y轴对称的点为P′(-x,y),且点P与点P′到原
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