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第五章复数
*§3复数的三角表示;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、复数的三角表示式
【问题思考】
1.(1)复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点和向量是如何一一对应的?
(2)若角θ的顶点在坐标原点O,始边在x轴非负半轴上,已知角θ终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数?
(3)终边相同的角有什么关系?;提示:(1)根据复平面的建立原则,复数a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,;(2)当z=r(cosθ+isinθ)≠0时,z的辐角有无穷多个值,这些值相差2π的整数倍.为确定起见,将满足条件0≤θ2π的辐角值,称为辐角的主值,记作argz,即0≤argz2π.?
(3)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.;3.复数z=-sin100°+icos100°的辐角的主值是().
A.80° B.100°
C.190° D.260°
解析:z=-sin100°+icos100°
=-cos10°-isin10°
=cos190°+isin190°,
∴argz=190°.
答案:C;二、复数三角形式的乘法法则与几何意义
【问题思考】
1.若复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),你能根据复数的乘法运算计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗?
提示:能.z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1+isinθ1)·(cosθ2+isinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].;2.(1)已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),
则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的模的积,积的辐角等于它们的辐角的和.
(2)复数乘法的几何意义;3.复数z=(cos25°+isin25°)·(cos50°+isin50°)的三角形式是()
A.cos(-25°)+isin(-25°) B.sin75°+icos75°
C.cos15°+isin15° D.cos75°+isin75°
解析:z=cos(25°+50°)+isin(25°+50°)
=cos75°+isin75°.
答案:D;三、复数三角形式的除法法则
【问题思考】
1.由复数乘法的运算法则,求r2(cosθ2+isinθ2)·[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
提示:原式=r2··{cos[θ2+(θ1-θ2)]+isin[θ2+(θ1-θ2)]}
=r1(cosθ1+isinθ1).;这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.;合作探究·释疑解惑;探究一复数的三角形式与代数形式的互化;(3)不是三角形式.;反思感悟1.复数三角形式的判断依据和变形步骤
(1)判断??据:
三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.
(2)变形步骤:首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.;2.复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)求复数的模;
(2)决定辐角的终边所在的象限;
(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);
(4)写出复数的三角形式.;探究二复数三角形式的乘法运算;(2)原式=6(cos70°+isin70°)[10(cos80°+isin80°)]
=60(cos150°+isin150°);反思感悟复数三角形式的乘法运算
(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需将相混的复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.;探究三复数三角形式的除法运算;反思感悟进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数的辐角减去除数的辐角当作商的辐角,即可得两个复数的除法结果.;思想方法;用数形结合思想求复数的模及辐角范围
【典例】若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和argz的范围.
分析:结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.;解:如图5-3-1,由|z-2|≤1,知复数z在复平
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