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;;;一、等比数列的判定与证明;;问题1若数列{an}的前三项成等比数列,能说明这个数列是等比数列吗?;a1qn-1;注意点:
(1)证明{an}为等比数列常用定义法.;例1已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).
(1)求a1,a2;;(2)求证:数列{an}是等比数列.;判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q
(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.;;;问题2结合上面的类比,你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗?;问题3结合上面的类比,你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l,m,n,k,l∈N*),类比出等比数列中相似的性质吗?;1.等比数列通项公式的推广和变形an=.
2.设数列{an}为等比数列,则:
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则.
(2)若m,p,n成等差数列,则成等比数列.;注意点:
(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz.
(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同.
(3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….;例2(1)在等比数列{an}中:
①已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n;;②已知a5=8,a7=2,an0,求an.;(2)已知{an}为等比数列.;②若an0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;;③若an0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.;(3)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数.;;;(1)应用等比数列的性质可以简化运算,当性质不能应用时,可以通过基本量法求解.
(2)等比数列中的设元技巧:当三个数成等比数列时,可设为,a,aq;当四个正数(负数)成等比数列时,可设为aq,aq3.;跟踪训练2(1)已知等比数列{an}满足a1+a5+a9=21,a4+a8+a12=
则a7等于
A.4 B.8
C.16 D.32;√;;(3)已知有四个数成等比数列,且将这四个数分别减??1,1,4,13后成等差数列,则这四个数的和是_____.;;;问题4结合我们所学,你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗?;符号表示;性质;1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),都是等比数
列,且公比分别是.
3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与
也都是等比数列,公比分别为和.;注意点:在构造新的等比数列时,要注意新数列中是否有为0的项,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列.;例3如果数列{an}是等比数列,那么下列数列中不一定是等比数列的是;由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中是否有为0的项,主要是针对q0的情况.;跟踪训练3设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件为
A.{an}是等比数列
B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列
C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列
D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比
相同;;1.知识清单:
(1)等比数列的判定与证明.
(2)等比数列中项与项之间的关系及应用.
(3)由等比数列构造新的等比数列.
2.方法归纳:公式法、类比法、定义法、分类讨论法.
3.常见误区:
(1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项.;;1;1;1;1;1;1;1;1;1;;;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;
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