北师版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 第4节空间直线、平面的垂直.ppt

第4节空间直线、平面的垂直

课标解读1.了解空间中线线、线面、面面垂直的关系,认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

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1强基础固本增分

知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l称为平面α的,平面α称为直线l的.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P称为垂足.?与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同垂线垂面

(2)判定定理与性质定理平行a⊥α

微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?提示存在,如图.

2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.?直二面角

(2)判定定理与性质定理一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件垂线b⊥α

微点拨在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”,缺一不可.它是作平面垂线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

3.直线与平面的夹角如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角.一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0°.直线与平面的夹角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.

4.二面角及其平面角如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角.

常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.

自主诊断××××题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(3)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.()(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.()

2.已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是()A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥βD解析α⊥γ,β⊥γ?α与β相交或平行,故A不正确;∵α∩β=a,b⊥a,b?β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正确;a∥β,a∥α?α与β相交或平行,故C不正确;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一条直线垂直于β,∴α⊥β,故D正确.

3.过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心.?(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的点.?(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的心.?外中垂

解析(1)∵过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,图略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴点O是△ABC的外心.(2)由(1)知,点O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如图,∴