北师版高考总复习一轮数学精品课件 第8章立体几何与空间向量 课时规范练57 求空间角.ppt

课时规范练57求空间角

123456基础巩固练1.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,线段AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD=()A. B.4 C.2 D.3B

123456解析如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DS分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.不妨设SD=t(t0),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),即SD=4.

123456AC

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123456m2=93,不符合题意,故B错误;设平面SAB的法向量为p=(x1,y1,z1),则

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1234563.(2024·九省适应性测试,17)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)证明:C1O⊥平面ABCD;(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.

123456(1)证明连接BC1,DC1.因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.因为C1C2=OC2+C1O2,所以C1O⊥OC,又OC∩BD=O,OC?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.

123456(2)解因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,又C1O⊥平面ABCD,所以以点O为坐标原点,以直线OA,OB,OC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所

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123456?

123456(1)证明取AC的中点M,连接O2M,PM,如图.所以四边形PO1O2M为平行四边形,则PM∥O1O2,又PM?平面PAC,O1O2?平面PAC,故O1O2∥平面PAC.

123456以O2为坐标原点,直线O2B,O2C,O2O1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则有

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1234565.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1=,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点.(1)求证:A1B⊥平面AB1C;

123456(1)证明因为四边形A1B1BA为菱形,所以A1B⊥AB1,又因为A1B⊥AC,AB1,AC?平面AB1C,AB1∩AC=A,所以A1B⊥平面AB1C.所以B1O⊥AB.因为平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,B1O?平面A1B1BA,所以B1O⊥平面ABC,所以B1O⊥AC,

123456又因为A1B⊥AC,B1O与A1B相交,所以AC⊥平面A1B1BA,所以AC⊥AB.取BC的中点D,连接OD,则OD∥AC.

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1234566.(2024·浙江温州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD=2,∠PBA=∠CBA=60°.(1)求证:平面PAB⊥平面PAC;(2)若点M在线段PB上,且直线AD与平面MAC所成角的正弦值为,求平面MBC与平面MAC夹角的余弦值.

123456因为AC2+AB2=BC2,所以AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA.因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.

123456(2)解因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,又AB⊥AC,所以以A为坐标原点,以直线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图.易知∠BAD=120°,

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本课结束