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多圆盘上的Toeplitz算子

无界函数-论文网

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论文摘要：受曹广福教授和Josepha.Cima教授的文章的启发，研究多圆盘上Bergman空间中具有无界符号的Toeplitz算子的有界性、紧性。

论文关键词：算子,无界函数,空间

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一、引言

记D是复平面内的单位圆盘，T是单位圆周，对确定的正整数n，分别是n个D，T的笛卡尔积，不难证明是的Shilov边界［8，9］，表示的拓扑边界，本文所涉及的边界问题只考虑Shilov边界。表示Bergman空间，在上关于正规化的Lebesgue面积测度dA是平方可积的，且在上是解析的函数空间。对，用表示上以f为符号的Toeplitz算子，其定义如下：其中P表示上的正交投影，此算子是稠密定义的。在［1］中，曹广福教授在单位球上构造了一类无界函数，使以之为符号的Toeplitz算子是紧的，并且，构造了在单位球的每个边界点的任意领域上的无界函数，以其为符号的Toeplitz算子是trace类算子。在［2］中Axler刻画了D上的有界符号诱导出Toeplitz算子在Bergman空间上何时是紧的。在［3］中，Grudsky和Vasilevski证明了以径向函数为符号的Toeplitz算子在上是有界（或紧）的，当且仅当序列。在［5］中Josepha.Cima研究了在单位圆盘上Bergman空间中以无界函数为符号的Toeplitz算子的紧性问题。

二、有界性

本部分在多圆盘上构造满足一定增长条件的无界函数.首先在的子域上构造特定的类型使得这些无界函数在的正测度集上膨胀，但其相应的Toeplitz算子仍是有界的，或紧的。设“锥点”域其中m,b的值视研究的具体情况而定。对上的任意点，设是在旋转，再“膨胀”，使得对某个，满足且.设序列恰好是某个Cantor集的顶点。首先在[0,1]区间构造Cantor集，去掉中间长度为的部分，在剩下的两个不相交的区间中再分别去掉长度为的中间部分，依次重复这个过程..此过程在[0,1]上产生一个紧的正测度集A，对A作n个笛卡尔积，设，通过函数，把M映射到，且是顶点的像.因此，每个在达到，且可选择使得它们是不相交的。设,考虑一个可测函数H(z)满足其中0，使得对每个球（以为球心，r为半径），及任意r值，有

。定义是的特征函数，显然h在每个点趋向无穷大.又因为中的Cantor集的其它点是顶点的极限点，所以h在的Cantor集的其它点也趋向无穷大.因此，得出结论：在的正测集上，h为无穷大.易证当时，选择适当的b与，可使下面讨论Toeplitz算子的有界性。

定理1.1:设H(z)是上具有增长速度为的可测函数，其中0，对上的任意Cantor集,其顶点，存在与不相交集，为集合

在旋转而得，且有限，使得若，则符号诱导上的一个有界Toeplitz算子。特别地，当取b=2c+5,时，结论成立.

证明：对，

对每个i,

若对某一满足b-2c-30的常数c,则

取b=2c+5,上式级数收敛，所以在上有界。.因此，即使符号在的正测度集上趋于无穷，仍可以得到有界的Toeplitz算子。

三、紧性

定理1.2:设h与如定理1.1中所设，则选取合适的b与值时，可使为上的紧算子。

证明:选取序列满足且在的紧子集上一致收敛到0，我们将证明，当时，。再选取序列使得设，选定J，则可找到正整数N使得对任意，且对，有.考察

现估算与，对任意nN，

对,运用Cachy-Schwarz不等式，则

若取b=2c+4，则由已知假设得右边的级数收敛，的和小于的常数倍。

所以，当时，故是紧的。

参考文献

1CaoGuangfu.\Toeplitzoperatorswithunboundedsymbolsofseveralcomplexvariables,Math.Anal.Appl[J].2008,339:1277-1285

2S.AXLER,D.ZHENG.CompactoperatorsviatheBerezintransform,Indianauniv.Math.[J].1998,47:387-400

3S.GRUDSKY,N.VASILEVSKI.Bergman-Toeplitzoperators:Radialcompactinfluence,IntegralEquationsoperatorTheory[J].2001,40:16-33

4J.Miao,D.Zheng.CompactoperatorsonBergmanSpaces,IntegralEquationsoperatorTheory[J].2004,48:61-79

5JOSEPHA.CIMA,ZELJKOCUCKOVIC,CompactToeplitzOpe