五年级奥数容斥问题讲座及练习答案.pdfVIP

五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除

包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，

应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素

时为：C=A+B-AB

AABB（韦恩图）

例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”

没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】如图所示，完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37+

42=79（人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业

的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，

这个班语文、数学作业都完成的有：79－48=31（人）

37+42－48=31（人）

答：语文、数学作业都完成的有31人。

想一想：下面算式有何道理？

(l)37－（48－42)=31（人）

(2)42－（48－37）=31（人）

【疯狂操练】：(1）五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优

秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少

人？

解：语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，那么总人数是：65+87=152（人）

其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）

答：语文数学都优秀的有30人。

(2）四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的

有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世

界》的有多少人？

解：根据两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种

读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13

人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）

答：订《数学大世界》的有22人。

(3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17

人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？

解：24+17-8=33（人）

答：这个文艺组一共有33人。

例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，

两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只

答对第一题的有25－15＝10（人）。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人

数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10+23=33（人）。所以，两题

都答得不对的有36－33=3（人）。

36－［(25－15)+23］=3（人）

想一想：下面算式有何道理。

(l)36－［(23－15)+25］=3（人）

(2)36－［(25－15)+(23－15)+15］＝3（人）

【疯狂操练】：(l）五（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加科

技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

解：19人两个小组都参加

则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人

所以参加小组活动的为