线代复习资料.pdf

第一部分：基本要求计算方面

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算如有行和、列和相等；

矩阵的运算包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算；

求矩阵的秩、逆两种方法；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解包括唯一、无穷多解；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组;并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化;如能;要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换正交矩阵将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵;并将二次型标准化;写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性..

第二部分：基本知识一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式..

1它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

2展开式共有n项;其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式;二、三阶行列式有对角线法则；

N阶n=3行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余

子式乘积的和..

方法：选取比较简单的一行列;保保留一个非零元素;其余元素化为0;

利用定理展开降阶..

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

2行列式值为0的几种情况：

Ⅰ行列式某行列元素全为0；

Ⅱ行列式某行列的对应元素相同；

Ⅲ行列式某行列的元素对应成比例；

Ⅳ奇数阶的反对称行列式..

二．矩阵

1．矩阵的基本概念表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、

对称矩阵等；

2．矩阵的运算

1加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

2关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律若AB＝BA;称A、B是可交换矩阵；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵;则|AB|=|A||B|；

④|kA|=k^n|A|

3．矩阵的秩

1定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

2秩的求法一般不用定义求;而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数每行

的第一个非零元所在列;从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵..

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩..

4．逆矩阵

1定义：A、B为n阶方阵;若AB＝BA＝I;称A可逆;B是A的逆矩阵满足

半边也成立；

2性质：AB^-1=B^-1A^-1;A^-1=A^-1；AB的逆矩阵;你懂的注意顺

序

3可逆的条件：

①|A|≠0；②rA=n;③A-I;

4逆的求解

伴随矩阵法A^-1=1/|A|A；AA的伴随矩阵~

②初等变换法A:I-施行初等变换I:A^-1

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B;则X=A^-1B；

XB=A;则X=BA^-1；

AXB=C;则X=A^-1CB^-1

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

1rA;b≠rA无解；

2rA;b=rA=n有唯一解；

3rA;b=rAn有无穷多组解；

特别地：对齐次线性方程组AX=0

1rA=n只有零解；

2rAn有非零解；

再特别;若为方阵;

1|A|≠0只有零解

2|A|=0有非零解

2．齐次线性方程组

1解的情况：

rA=n;或系数行列式D≠0只有零解；

rAn;或系数行列式D＝0有无穷多组非零解..

2解的结构：

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r..

3求解的方法和步骤：

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项;利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解..

3．非齐次线性方程组

1解的情况：

利用判定定理..

2解的结构：

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r..

3无穷多组解的求解方法和步骤：

与齐次线性方程组相同..

4唯一解的解法：

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法初等变换法..

四、向量组

1．N维向量的定义

注：向量实际上就是特殊的矩阵行矩阵和列矩阵..

2．向量的运算：

1加减、数乘运算与矩