北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第2节 不等式的证明.ppt

;研考点精准突破;;(2)证明:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2),

因为a,b都是正数,所以a+b0,a2+ab+b20,

又因为a≠b,所以(a-b)20.

所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,

即a5+b5a2b3+a3b2.;规律方法比较法证明不等式的步骤;对点训练1已知f(x)=|x-1|+|x+1|,不等式f(x)4的解集为M.

(1)求集合M;

(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b||4+ab|.;考向2综合法证明不等式;规律方法综合法证明不等式的常用技巧:当用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.;对点训练2(2022河南开封一模)已知正数a,b,c满足a3b3+b3c3+c3a3+abc=4.

(1)求证:0abc≤1;;考向3分析法证明不等式

例3设函数f(x)=|x-a|.

(1)若关于x的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,求实数a的取值范围;

(2)若0a1,|b|1,求证:f(a2b)f(b).;(1)解:由绝对值三角不等式得f(x)+f(2-x)=|x-a|+|2-x-a|≥|x-a+2-x-a|=|2-2a|,

当且仅当(x-a)(2-x-a)≥0时,等号成立.若关于x的不等式f(x)+f(2-x)3恒成立,则|2a-2|3,即2a-23或2a-2-3,;规律方法用分析法证明不等式时应注意:

(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;

(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;

(3)当用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.;对点训练3已知a+b+c=1,;考向4利用绝对值三角不等式证明不等式;规律方法利用绝对值三角不等式证明不等式时,一般需要利用绝对值的意义,对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式做正负号的调整,使之对消变量,得到常数.;考向5利用放缩法证明不等式

例5已知f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|的最小值是c.(其中a,b都是0到1之间的正数)

(1)求a+b+c的值;

(2)证明:a2+2ab+4bc+2ac≤4.;(1)解:f(x)=|x-a+1|+|x+b-1|≥|x-a+1-(x+b-1)|=|a+b-2|,

当且仅当(x-a+1)(x+b-1)≤0时,等号成立,

因为a,b∈(0,1),所以f(x)≥2-a-b,所以c=2-a-b,即a+b+c=2.

(2)证明:因为a+b+c=2,所以(a+b+c)2=4,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4,

因为b2+c2≥2bc,

所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+2bc+2ab+2bc+2ac,

即a2+2ab+4bc+2ac≤4,当且仅当b=c时,等号成立.;规律方法放缩法证明不等式的技巧

放缩法证明不等式,常常利用基本不等式,绝对值三角不等式等大家熟知的数学结论进行放缩,有时也对要证明结论的一端进行适当地放或缩来证明不等式.;对点训练5已知a,b,c均大于0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.

(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)8的解集;

(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2≥.;(2)证明:因为a0,b0,c0,

所以f(x)=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c,

当且仅当(x-a)(x+b)≤0时,等号成立,

因为f(x)的最小值为1,所以a+b+c=1,

所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,

因为2ab≤a2+b2,2bc≤b2+c2,2ac≤a2+c2,

所以1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2),

所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.;考向6利用柯西不等式证明不等式

例6(2022全国甲,文23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:

(1)a+b+2c≤3;;规律方法1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等式时,一定要满足柯西不等式的形式,这往往需要对要证明的不等式的一端的代数进行变形,以满足柯西不等式的形式.

2.要理解并记住等号成立的条件:;对点训练6(2022陕西榆林