北师版高中数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 §5 5.2 余弦函数的图象与性质再认识.ppt

第一章三角函数5.2余弦函数的图象与性质再认识

自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习

课标定位素养阐释1.会利用诱导公式,通过图象平移得到余弦函数的图象.2.会用“五点(画图)法”画出余弦函数在区间[0,2π]上的图象.3.掌握余弦函数的性质及应用.4.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.

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一、余弦函数的图象【问题思考】1.如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象?提示:把y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度,即可得到y=cosx,x∈R的图象.2.在确定余弦函数的图象时,哪些点是关键点?

3.如图1-5-2,余弦函数y=cosx,x∈R的图象称作余弦曲线.图1-5-2

4.余弦函数的作图方法(1)“五点(画图)法”画余弦曲线,通常也使用“五点(画图)法”,即在函数y=cosx(x∈

如图1-5-3,在精确度要求不太高时,常常先描出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们顺次连接起来,就得到余弦函数的简图.这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.图1-5-3

(2)图象变换法图1-5-4

5.(1)要得到函数y=-sinx的图象,只需将函数y=cosx的图象().D.向左平移π个单位长度(2)不等式cosx0,x∈[0,2π]的解集为.?

二、余弦函数的性质【问题思考】1.表1-5-3

2.函数y=-cosx的递减区间是().A.[0,π]B.[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)C.[π,2π]D.[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)解析:函数y=-cosx的递减区间,即函数y=cosx的递增区间,即[(2k-1)π,2kπ](k∈Z).答案:D

【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)余弦函数y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称,对称轴有无数多条.()(2)余弦函数y=cosx的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.()√√

(3)函数y=acosx(a≠0)的最大值为a,最小值为-a.()(4)函数y=cosx(x∈R)的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=sinx.()×√

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探究一画余弦函数的图象【例1】用“五点(画图)法”作出函数y=2cosx-1,x∈[0,2π]的图象.分析:先在区间[0,2π]内找五个关键点,再列表、描点、连线可得函数图象.

解:列表:描点、连线画图如答图1-5-5.答图1-5-5

反思感悟

【变式训练1】用“五点(画图)法”作出函数y=2+cosx,x∈[0,2π]的简图.解:列表:描点、连线,如答图1-5-6.答图1-5-6

探究二余弦函数的定义域、值域问题(2)求y=-2cosx-1的值域.分析:(1)先根据根式的意义建立不等式,再利用余弦函数的图象求解;(2)利用余弦函数的值域求值域.

答图1-5-7

(2)∵-1≤cosx≤1,∴-2≤-2cosx≤2,∴-3≤-2cosx-1≤1.∴函数y=-2cosx-1的值域为[-3,1].

反思感悟1.求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图象.2.与余弦函数有关的值域的求法.(1)直接法.利用y=cosx的有界性或已知x的范围求y=cosx的值域.(2)换元法.令t=cosx,整体换元,换元后的函数必定是我们所熟悉的函数,比如一次函数、二次函数、对数函数等.

探究三余弦函数的性质(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最小正周期.分析:(1)根据奇偶性的定义判断;(2)根据余弦函数的单调区间求解;(3)根据余弦函数的周期定义求解.

(2)∵y=cosx在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,

反思感悟1.奇偶性与周期性常根据它们的定义求解,解题时注意性质的灵活运用.2.形如y=acosx+b(a≠0)函数的单调区间:(1)当a0时,其单调性同y=cosx的单调性一致;(2)当a0时,其单调性同y=cosx的单调性恰好相反.

【变式训练3】(1)函数f(x)=xsin的奇偶性为.?(2)函数y=|cosx|的周期是;它的递增区间是.?

(2)作出函数y=|cosx|的图象,如答图1-5-8,答图1-5-8

探究四余弦函数单调性的应用【例4】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大