北师版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第2节函数的单调性与最值.ppt

第2节函数的单调性与最值

课标解读1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.

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知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)单调性增函数减函数定义设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于定义域D上任意的x1,x2当x1x2时,都有,那么就称函数y=f(x)是增函数?当x1x2时,都有,那么就称函数y=f(x)是减函数?

单调性增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

微点拨函数单调性定义的等价形式

(2)单调性、单调区间的定义设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:如果对于任意的x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间.?如果对于任意的x1,x2∈I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间.?如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为.?单调递增单调递减单调区间

微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?提示不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.

2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件对所有的x∈D,都有;?且存在x0∈D,使得?函数的最值一定是某个自变量对应的函数值对所有的x∈D,都有;?且存在x0∈D,使得?结论M为y=f(x)的最大值最大值是所有函数值中最大的一个M为y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M

微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.

微思考已知函数f(x)=,对于?x∈{x|x≠0}都有f(x)0,能否认为f(x)=的最小值为0?提示不能.尽管f(x)0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能说f(x)=的最小值为0.

常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数.

3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有:u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f(g(x))增减减增

自主诊断√×××题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)若函数f(x)在R上单调递减,则f(1)f(2).()(2)若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)f(3).()(3)函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,1)∪(1,+∞).()(4)若函数f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),则f(x)在[1,6]上单调递减.()

2.已知函数f(x)=,x∈[2,6],则函数的最大值是,最小值是.?20.4解析因为函数f(x)=在区间[2,6]上单调递减,所以,函数f(x)=在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4.

3.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],且在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是.?(1)f(0)f(2);(2)f(3)