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多稳态电磁俘能系统的非线性动力学实验研究

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高鸣源李守太孙玉华

摘要：为克服共振式俘能器工作频带窄和压电式俘能器输出电流低等问题，设计了多稳态电磁式振动俘能系统。建立了系统的分数阶阻尼模型，通过实验揭示了多稳态电磁俘能系统的动态分岔、势能阱逃逸、高能态轨道和混沌运动等非线性行为。结果表明：采用庞加莱截面频闪采样算法和分岔图可有效刻画系统的非线性振动特性;利用多稳态电磁式俘能系统的非线性振动特性可显著增加输出电流并拓宽系统的有效工作频带。

关键词：非线性振动;振动俘能;多稳态电磁式俘能系统;混沌;分岔

引言

振动俘能装置可将周围环境中的振动能量转化为电能，是能源回收利用的重要实现方式。经典的振動能量收集装置可分为静电式[1]、电磁式[2]及压电式[3?4]三类。对于传统的线性谐振式振动俘能器，当激励频率等于或接近俘能系统固有频率时俘能器才会有显著的能量输出。当外界环境振动激励频带较宽时，线性谐振式振动俘能器的效能不足。

因此学者们开展了非线性俘能系统的研究工作以期拓宽俘能器频带，主要研究工作包括单稳态[5]、冲击[6]、双稳态[7?8]、三稳态[9?10]等结构形式。多稳态系统的回复力具有非线性特性，回复力势能存在多个势能阱，当振子发生阱间振动时其处于高能态轨道状态，此时系统具有较高的能量输出。因此通过系统设计使俘能器处于高能态轨道状态，可有效提高俘能功率输出[11]。

双稳态和三稳态振动俘能系统的非线性回复力通常借助磁斥力或磁吸力的非线性特性来实现。现有俘能器主要借助压电效应实现机电能量转换，典型的双稳态压电俘能器由压电悬臂梁及辅助磁体组成，梁的自由端固定有永磁体[12?17]，并随压电梁一起振动，其余磁体静止布置于梁的两侧，不随梁运动。系统的非线性行为取决于磁体的几何形状，位置和磁性等。上述多稳态系统非线性回复力势能虽由磁力产生，但本质上属于压电俘能系统。压电俘能器的共同局限是压电材料内阻较大，因而输出电流小，致使系统的带载能力弱[18]。

Mann和Owens[19]提出了一种基于电磁感应原理的可直接为负载供能的双稳态振动俘能系统。该俘能器由可动磁体及固定磁体阵列组成，磁体间相互作用形成一个双稳态势能阱。与压电式相比，电磁感应式俘能器在低频时具有较高功率输出，无特殊材料需求，生产成本较低，能够满足机械工程领域大规模应用需求。目前，关于电磁感应式多稳态振动俘能器的研究工作较少，对基于电磁感应原理的多稳态振动俘能系统特性了解不足。此外，无线传感网络监测用电子电路或传感器通常需要10?50mA的输入电流，10?200mW的功耗，较高的电流和功耗使得常规的振动俘能方式面临较大挑战，亟需设计研发可提供大电流和较高输出功率的振动俘能器结构。

因此本文基于电磁感应原理设计了多稳态振动俘能系统，并开展了三稳态系统的实验研究。本研究的主要贡献和创新之处在于：1）提出了基于磁浮原理的电磁感应式多稳态振动俘能机制;2）建立并验证了基于分数阶阻尼的电磁感应式三稳态俘能器动力学模型;3）对所设计的三稳态俘能系统的非线性动力学行为开展实验研究，揭示了分岔、阱间振动和混沌等现象。

1基本原理

图1（a）为电磁感应式三稳态振动俘能系统的物理模型。阴影矩形表示管内可动磁体，其具有如图中两个虚线和一个实心填充方框所示的三个稳定状态。图中实线矩形框表示的是固定磁体阵列。为使俘能系统产生含三稳态势能阱回复力的势能函数，外部固定磁体阵列中磁体数量、磁极方向以及排布位置设计为可调结构。线圈位于可动磁体与固定磁体阵列之间。因此，通过一个双层同心管结构（线圈固定到内管;静止磁体阵列固定于外管）解决线圈及静止磁体阵列的固定问题。

图1（b）为系统的力学模型。电感元件（即线圈）在电流流过时将电能存储在磁场中，它充当记忆元件并可保持流经的电流。根据楞次定律，感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化，亦即感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。这就解释了电磁感应能量收集器中的阻尼力的成因，因此合成的阻尼力可以用分数阶微积分来描述。采用基尔霍夫电压定律可以建立系统的等效电路模型，如图1（c）所示。

为回复力势能，，是稳定平衡点，而为不稳定平衡点。是多项式最大阶数项的系数，当时，多稳态势能函数是实际存在的;而当时，系统是不可实现的。采用KB平均法来求解电磁感应式三稳态振动俘能系统的动力学模型。

图2是电磁感应式三稳态振动俘能系统在三稳态配置下的回复力和回复力势能曲线。外部静止磁体与内部悬浮可动磁体之间的相互作用引起的非线性回复力由Maxwell应力张量法计算得到，这种方法在前期研究工作中已经得到验证[22]。可以看出，回复力具有明显的非线性特征，并且三稳态系统在三个稳态之间进行切换。该系统共有