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复习课应关注数学思想方法的渗透——以“图形的全等变换”复习课为例
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一、内容及其解析
图形的变换是义务教育阶段数学课程标准中“空间与图形”领域的一个主要内容,包含平移、翻折和旋转,体现了运动变换的理念与思想。在几何的解题中,运用图形变换将分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置,从而使分散的条件都集中在某个基本图形中,建立起某种数量关系,进而使问题得以转化解决。图形变换是一种重要的思想方法,它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想,若能领会这种解题的思想实质,并能准确合理地使用,在解题中会收到奇效,也将有效地提高思维品质。
图形变换型问题教与学的现状分析?
虽然图形变换的问题学生早有接触,中考复习中也做了大量类似的题目,但老师和学生仍然存在很大的困惑,题目千变万化,学生难以突破,原因何在??
教师本身对图形变换的思想方法理解不到位:大多数教师只停留在图形变换的定义,性质及简单的图形变换的作图或图形的欣赏层面上。图形变换包含一种非常重要的数学思想:转化思想,这一点为许多教师所忽视。若教师缺乏对图形变换的深入研究,则学生对这块知识的思想方法更是一块空白,导致在实践中看不到学生图形变换思想方法的能力体现,因此在教学中图形变换问题成了学生的一大难点。?
笔者以自己执教的《图形的全等变换》为例来谈一谈数学思想方法在复习课中的应用。
三、教学目标及重难点
1.教学目标
(1)让学生学会用图形的平移、轴对称、旋转的性质解决问题
(2)让学生初步掌握用全等变换思想构造全等去解决较难的几何问题
(3)让学生经历活动、积累运用全等变换解决问题的经验
2.重难点
重点:用图形的平移、轴对称、旋转的性质解决问题
难点:用全等变换思想构造全等解决教难的几何问题
教学过程设计
回顾
师:上一节课老师带领大家一起回顾了图形全等变换的概念和性质,图象变换性质的研究重点是什么?
生:变换前后图形之间的形状、大小和位置关系。
师:这些变换的性质有什么共性吗?
生:变换前后图形全等,只改变了图形的位置。
师:怎样用好这些性质去解决问题呢?带着这个思考,我们一起复习用全等变换的性质解决问题。
例题讲解
例1如图1,△ABC沿BC方向平移得到△DEF,连接AD。
图1
问1:图中,由平移的性质可得到哪些结论?
问2:△ABC的周长为16cm,平移的距离为2cm,则四边形ABFD的周长为______。
问3:△ABC的面积为25,△ADG与△EFG的面积之比为4:9,则四边形CFDG的面积为_____。
师:想一想平移变换的性质在解决问题过程中的具体作用是什么?
设计意图:回顾平移的性质为问题2、3的顺利解决作铺垫。问题2:让学生体会应用平移的性质为解决几何问题带来的方便。平移改变了图形的位置但不改变其形状、大小,通过平移将分散的线段转移到恰当的位置,让其具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形,从而解决问题,体现了转化的数学思想。问题3应用了平移的性质:对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等,以及平移的面积不变性,具有一定的综合性。
练一练如图2是一块长为a,宽为b的长方形草地,在这草地上有纵横交错着的宽为c的两条小路没有种草,则草地面积为多少?
图2图3
设计意图:这是一道实际问题,此题实际要求的是四块草地的面积之和。单独求每块草地的面积显然是不现实的,通过平移变换将小路平移到长方形的边上(如图3),这样就将四块草地集中到一起且面积没有发生变化,从而可很容易求出草地面积。此题也是对平移的性质的巧妙运用,化散为整,解决了这一实际问题。
例2矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E是AB上的点,沿CE翻折△BCE,B的对应点为B′,B′在AD上.
(1)求BE的长;
(2)连接BB′,交CE于点H,求EH的长;
(3)F是BC的中点,G是CE上的动点,求△BFG周长的最小值。
设计意图:
问题(1)是典型的折叠问题,运用了轴对称变换的性质(折叠前后图形形状大小不变,具体有相等的线段、相等的角等)。根据这个性质,在不改变图形某些线段长短的情况下改变其位置,构造直角三角形,并用勾股定理来求解。体现了转化的数学思想。
问题(2)需要用到轴对称的性质:对称轴垂直平分连结两对称点的线段。以及解决折叠问题中线段长度的一般方法——勾股定理、面积法、相似。让学生体会一题多解所带来的解题乐趣。
问题(3)典型的将军饮马问题,实则考查的是线段和最小问题,该问题可以转化为两点之间线段最短问题。在探索最短路径过程中,让学生体会轴对称变换的桥梁作用,感悟转化思想。通过三个问题的探究与思考,帮助学生寻找此类问题的突破口,掌握正确解题的方法和途径,充分利用图形变化中
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