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考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表

示分块矩阵，则()．

A．r(A，AB)=r(A)

B．r(A，BA)=r(A)

C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}

D．r(A，B)=r(ATBT)

正确答案：A

解析：解一易知r(A，AB)≥r(A)．又由分块矩阵的乘法，可知(A，AB)=A(E，

B)，因此r(A，AB)≤min{r(A)，r(E，B)}，从而r(A，AB)≤r(A)所

以r(A，AB)=r(A)，故选项(A)正确．解二排除法对选项(B)，取则

r(A)=1，r(A，BA)=2．对选项(C)，取则r(A)=r(B)=1，r(A，B)=2．对选

项(D)，取则r(A，B)=1，r(AT，BT)=2．知识模块：线性代数

2．[2003年]设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有()．

A．a=b或a+2b=0

B．a=b或a+2b≠0

C．a≠b且a+2b=0

D．a≠b且a+2b≠0

正确答案：C

解析：解一因秩(A*)=1，由A与其伴随矩阵A*的秩的关系知，秩(A)=n

－1=3－1=2．因为使秩(A)=2，必有|A|=0，且即a≠b，故a≠b且a+2b=0．仅(C)

入选．解二由|A|=(a+2b)(a－b)2=0，得到a+2b=0或a=b．但当a=b时，秩

(A)=1≠2，故a+2b=0且a≠b．仅(C)入选．知识模块：线性代数

3．[2005年]设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，

C=A+CA，则B－C为()．

A．E

B．－E

C．A

D．－A

正确答案：A

解析：解一仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)

－1得到B=(E－A)－1．由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)－1，

得到C=A(E—A)－1，则B－C=(E－A)－1－A(E－A)－1=(E－A)(E－A)－

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1=E．解二由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是(E－

A)B=E，C(E－A)=A，①则E—A与B可逆，且互为逆矩阵．于是有B(E

－A)=E，②则由式②一式①，得到B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E

—A，即B－C=E．仅(A)入选．知识模块：线性代数

4．[2006年]设A为三阶矩阵，将A的第2行加