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二7
i
高中数学
选择性必修第一册RJA
第三章圆锥曲线的方程
3.1椭圆
3.1.2椭圆的简单几何性质
T|T第3课时直线与椭圆的综合应用
课前预习课中探究备课素材
探究点一弦长问题
CONTENTS探究点二与椭圆有关的最值、范围与证明问
题
【学习目标】
1.由直线与椭圆的方程，利用代数方法解决直线与椭圆相交弦长相关问题.
2.能灵活运用椭圆的定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.
课前预习
◆知识点直线与椭圆的相交问题
求直线被椭圆截得的弦长的两种方法：
(1)求出两交点坐标，用两点间的距离公式求解；
点为A(x?,y?),B(x?,y?),k为直线AB的斜率.
课前预习
【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(√)
[解析]由椭圆的对称性可知，若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦
长最大.
(2)已知直线y=kx+m与椭圆
课中探究
◆探究点一弦长问题
若直线l的斜率是1,求弦长|AB|.
课中探究
解：根据题意，椭圆x2+4y2=16的标准方程为
率为1,
得直线l的方程为y-0=1×(x+2√3),即y=x+2√3,
与椭圆的方程联立可得5x2+16√3x+32=0.
课中探究
变式[2023·山西晋中高二期中]已知椭圆
空，左焦点为F?,点(V2,V3)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
解：设椭圆C的焦距为2c,因为e=。=空，
可得椭圆C的方程为
解得b2=4,
所以椭圆C的标准方程为音+=1.
课中探究
的中点，可得|0F?|=|0A|.
则直线AB的方程为y=x+2.
由.
课中探究
[素养小结]
直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出两端点的坐标，再用两点间的距
离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
(3)设直线方程时，要注意斜率不存在的情况.
课中探究
◆探究点二与椭圆有关的最值、范围与证明问题
例2[2023·福建厦门六中期中]
已知椭圆
在椭圆C上.
,点A()
(1)求椭圆C的标准方程；
解：由题意可得a=6=13
故椭圆C的标准方程为
C=√
￥+y2=1.
课中探究
积的最大值.
解：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2,
P(x
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